mavzu: va 3- tartibli determinantlar. О‘rniga qо‘yishlar gruppasi. R e j a

2-MAVZU: 2 VA 3- TARTIBLI DETERMINANTLAR. О‘RNIGA QО‘YISHLAR GRUPPASI.
R E J A:
1.Ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli
determinantlar.
2. 3noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli determinantlar.
3.Gruppa ta’rifi va misollar.
3. О‘rniga qо‘yishlar gruppasi.
4. Juft va toq о‘rniga qо‘yishlar.
ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3 ].
1. Faraz etaylik bizga
a₁₁x₁ +a₁₂ x₂=b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ +a₂₂ x₂= b₂ -a₁₁ - a₁₂
chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bо‘lsin. (1) ni x₁ va x₂ ga nisbatan yechsak (2)

lar hosil qilamiz. Bu yerda maxraj

d= a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ = (3)
kо‘rinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari kо‘paytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari kо‘paytmasini ayirish kerak ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni ham ikkinchi tartibli determinant kо‘rinishda yozish mumkin:
d₁= b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂= , d₂= b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ =
Bulardan foydalanib (2) ni
(4)
kо‘rinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi deyiladi.
Misol.
sistemani Kramer formulalari yordamida yeching.
Bu yerda .
Demak, (4) ga kо‘ra x₁= .
Javobi: x₁=1 va x₂=1.
2.Endi faraz qilaylik 3 ta noma’lumli
chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bо‘lsin. (5)ni x₁ ,x₂ , x₃ larga nisbatan yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ ga ikkinchisini a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ ga va uchinchisini a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ ga kо‘paytirib qо‘shamiz.U holda

Buning maxrajini
d
= (7)
deb belgilab olsak, (7) ga 3- tartibli determinant deyilali. (7) ning chap tomonidan uni hisoblash qoidasi kelib chiqadi:


Osonlik bilan kо‘rish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ni mos ravishda b₁ ,b₂ ,b₃ lar (ozod hadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati hosil bо‘ladi, ya’ni (7) dan
= (8)
(7) va (8) ga asosan (6) ni quyidagicha yoza olamiz: . Xuddi shuningdek, (5) ni x₂ va x₃ ga nisbatan yechsak , larni hosil qilamiz. Bu yerda
.

Misolar. 1).

2). chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.
Shuning uchun ham , , .
Javobi: (1, , ).
3. Faraz etaylik, bizga bitta binar ⊤ va unar  algebraik amal aniqlangan G bo‘sh bo‘lmagan to‘plam berilgan bo‘lsin. Agarda G to‘plamning elementlari unda aniqlangan ⊤ amalga nisbatan assotsiativlik qonuniga bo‘ysinsa, ya’ni:
1). a,b,c G  (a⊤ b) ⊤ c=a⊤ (b ⊤c) tenglikni qanoatlantirsa,  G; ⊤ algebraga ⊤ amalga nisbatan yarim gruppa deyiladi.
Agar  G; ⊤,* - yarim gruppa
2). a G,  eG , a ⊤e = e⊤a= a;
3). a G,  a' G , a⊤a' = a'⊤a= e;
shartlarni qanoatlantirsa,  G; ⊤,* ga ⊤ amalga nisbatan gruppa deyiladi.
ye ga G = G; ⊤,* gruppaning neytral elementi, a' ga esa a elementga simmetrik element deyiladi.
Agarda G = G; ⊤ ,* gruppaning elementlari
4). a,b G  a⊤ b = b ⊤ a shartni qanoatlantirsa,G ga kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi.
Neytral elementga ega bo‘lgan yarim gruppaga monoid deyiladi.
Agar M G bo’lib,  M ; ⊤, * gruppa bo‘lsa, bu gruppaga G = G; ⊤,* gruppaning qism gruppasi deyiladi.
Misollar. 1. N- natural sonlar to‘plamini arifmetik qo‘shish amaliga nisbatan tekshiraylik. Ma’lumki,  n,m N, m+n  N.
1).  m, n,l N, m+(n+l) =(m+n)+l bajariladi.
2).  m,  eN, m+e= e+m= m, e=0 N, ya’ni bu shart bajarilmaydi .
Demak, N= N; +  yarim gruppa ekan .
Endi shu to‘plamni ko‘paytirishga nisbatan tekshiraylik.  m,n N m nN.
1).  m,n,e N, m(n e)=(m  n) e bajariladi.
2).  m  N ,  e=1N , m1 =1 m= m bajariladi .
3).  m  N,  m'N, m  m' = m'  m =1 bo’lishi kerak .
m' =1/m  N . Demak, bu shart bajarilmaydi. Shunday qilib N= N,   monoid bo‘lar ekan.
2. Barcha butun sonlar to‘plami Z qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘ladi.