Mavzu: xosmas integrallar \ xosmas integrallar

MAVZU:
XOSMAS INTEGRALLAR

\
XOSMAS INTEGRALLAR

REJA:

• 
  XOSMAS INTEGRALLAR
  
• 
  INTEGRALLASH SOHASI
  
• 
  XULOSA
  

Xosmas integrallar
[a;b] oraliqda berilgan f(x) funksiyaning aniq integrali tushunchasini kiritib batafsil o‘rgandik. Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, integralning bayonida oraliqning chekliligi va f(x) ning chegaralanganligi bevosita ishtirok etdi.
Endi avvalgi integral tushunchasini ma’lum ma’nolarda umumlashtirish imkoniyati bormikan degan savol tug‘uladi. Albatta, umumlashtirish shunday bo‘lishi kerakki, natijada Riman integralining asosiy xossalari o‘z kuchini saqlab qolsin. Ba’zi hollarda aniq integral tushunchasini cheksiz oraliqda aniqlangan funksiya yoki chegaralanmagan funksiya uchun umumlashtirishga to‘g‘ri keladi. Biz hozir ana shunday umumlashgan (yoki xosmas) integrallarni kiritamiz va o‘rganamiz.
Integrallash sohasi chegaralanmagan xosmas integral.
f(x) funksiya [a;+) cheksiz oraliqda aniqlangan bo‘lib, uning har qanday [a; t] chekli qismida integrallanuvchi bo‘lsin, ya’ni ixtiyoriy t (t>a) uchun ushbu
integral mavjud bo‘lsin. Bu integral berilgan f(x) funksiya uchun faqat t o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi.
1-ta’rif. Agar t+ da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning [a;+) oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va u kabi belgilanadi. Demak;
2-ta’rif. Agar t+ da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, f(x) funksiya esa cheksiz [a;+) oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Agar t+ da F(t) ning limiti cheksiz bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, (1) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
1-misol. ,  , integralni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Agar 1 bo‘lsa, u holda,
Demak, Agar =1 bo‘lsa, u holda.
Demak, integral >1 da yaqinlashuvchi, 1 da uzoqlashuvchi ekan.

Funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi.
f(x) funksiya da berilgan bo‘lib, bu oraliqning istalgan qismida integrallanuvchi, ya’ni

mavjud bo‘lsin.
.Xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali) deyiladi va kabi belgilanadi. Bu holda  funksiyani oraliqda xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi. Demak, ta’rif bo’yicha Bu holda – xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
oraliqda integral tushunchasini ham kiritish mumkin:
Nihoyat da xosmas integral tushunchasini kiritamiz:
Bu yerda funksiyadan ixtiyoriy segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchanligi talab qilinadi. Agar (3) limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. (3) limit va larning mos ravishda va ga qanday usulda intilishiga bog’liq emasligini ta’kidlash lozim. Boshqacha aytganda integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli . Bu holda bo’ladi:
2. 1-xossa. Agarqator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u holdaqator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi gat eng bo`ladi, bunda -o`zgarmas son.
2-xossa. Agarqatorlar yaqinlashuvchi bo`lib, ularning yig`indisi mos ravishda S₁ va S₂ ga teng bo`lsa, u holda qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi S₁ +S₂ ga teng bo`ladi.3-xossa. Agarqator yaqinlashuvchi bo`lsa, da a_n nolga intiladi:Eslatma. Qatorning umumiy hadi ning da nolga intilishidan uning yaqinlashuv

4-xossa. Aytaylik,
(1)qator berilgan bo`lsin. Bu qatorning hadlarini guruhlab quyidagi
(4)Qatorni hosil qilamiz, bunda bo`lib, -natural sonlar ketma-ketligi{n} ning qismiy ketma-ketligi.Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u holda(4) qator ham yaqinlashuvchi va yig`indisi S ga teng bo`ladi.
6-VARIANT
1. . II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya (a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy  uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda


funksiyani qarash mumkin.