Mavzu: XX-XXL matematiklari haqida reja: Matematika rivojlanishining uchinchi davri. O’zgaruvchilar miqdorlar matematikasi

Differensial va integral hisobi.
Daslabki integratsion metodlar bilan tanishaylik. Bu soxadagi dastlabki ishlar 1615 yili Kapperga taalluqli. Metodning mazmuni-aktual cheksiz kichik miqdorlar bilan bevosita amallar bajarishdan iborat.
Butun umri davomida Kopernikning geliotsentirik sistemasini o’rganish, rivojlantirish va targ’ib qilishga bag’ishlangan, 1609-19 yillar orasida planetalar xarakatiga oid bo’lgan:
1) planetalar eplips bo’ylab xarakat qiladi;
2) quyosh ularning fokuslaridan birida joylashgan;
3) planetalarning radius-vektorlari bir xil vaqt oralig’ida teng sektorial yuzalarni xosil qilish;
4) planetalarning quyosh atrofida aylanish vaqtining kvadrati ular orasidagi o’rtacha masofalarning kubiga nisbati kubidir.Bu masalalarni hal etish cheksiz kichik miqdorlardan foydalana bilishni taqazo etardi (sektorial yuzalarni xisoblash o’rtach masofalar…).
Bu metodni u 1615 yilda e’lon qilgan “ Vino bochkalarining stereometriyasi “ asarida bayon etadi, ya’ni har qanday figura yoki jism cheksiz kichik bo’laklar yig’indisidan tashkil topgan. Masalan, doira cheksiz ko’p cheksiz kichik sektorlardan tashkil topgan bo’lib, bularni har birini teng yonli uchburchak sifatida qarash mumkin. Bunda hamma uchburchaklar bir xil balandlikka (radius), ularning asoslarining yig’indisi aylana uzunligiga teng deydi.
Bu metodni u u uncha bo’lmagan geometrik figuralar va jismlarga tatbiq etadi, jami 92 ta.
Arximeddan qabul qilingan bu usulni Kepler namunali misollarda ko’rasatishi,
bu usulni kelajagi porloq ekanligini ko’rsatadi. Bu metodni ilmiylik darajasiga ko’tarish va doimiy algoritmni ishlab chiqish shu zamon olimlarini o’ziga jalb qildi.
Bulardan etarlicha mashhur bo’lgani Kavaleri prinsipi deb nomlanuvchi bo’linmas geometriyasidir. Bonaventura Kavaleri (1598-1674) G.Galileyning shogirdi Balonya universitetining professori. Bu fikirni u 1621 yilda aytgan bo’lib, 1629 yilda kafedra professerligiga o’tayotganligida sistemali ravishda bayon etadi.bu bo’linmaslar metodini takomillashtirish natijasida 1635 yilda “Uzluksizlarni bo’linmaslar yordamida yangi usulda bayon etilgan Geometriya “
kitobini va 1647 yilda “ Olti geometrik tajriba “ nomli kitoblarini yozadilar.
Endi metodning geometric mohiyati bilantanishaylik:
Dastlab bo’linmaslar metodi tekis figuralar va jismlarning o’lchamlarini aniqlash uchun kashf etilgan. Figuralar regula deb ataluvchi yo’naltiruvchi to’g’ri chiziqqa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq kesmalaridan iborat deb qabul qilinadi. Bu tasavvur qilingan kesmalar cheksiz ko’p. Ular juftlar deb ataluvchi 2 urinma orsida joylashgan va bu urinmalar reguliga parallel olingan. Regula sifatida bu urinmalarning birini olish mumkun.
Geometrik jismlar ham shu ko’rinishida regula sifatida oilngan biror tekislikka parallel o’tgan tekisliklar bo’linmaslar deb olinadi. Bular ham cheksiz ko’p bo’lib, regulaga parallel bo’lgan urinma tekisliklar orasida joylashgan. Odatda bularning biri regula sifatida olinadi.
Endi metodning mazmuni bilan tanishaylik.
Tekis figuralarning va jismlarning bir-biriga nisbati ularning barcha bo’linmaslarning nisbati kabidir, agarda bo’linmaslar bir –biriga bir xil nisbatda bo’lsa, u holda mos figuralarning eyuzalarining (hajmlarining ) nisbati o’sha nisbatga teng, ya’ni:
ixtiyoriy k uchun. U holda .
Bu teoremani Kovaleri bo’linmaslarning darajalarini nisbatiga ham tatbiq etib, aniq integralni hisoblash ko’rinishdagi masalalarga olib keladi.
G.Galileyning 2-chi shogirdi E.Torrichelli (1608-1647) egri chiziq bo’linmaslarni kiritdi. Metodning mohiyati va mazmuni Kovalerniki kabi.
Bu borada Paskal,Ferma, Vallis va Bborrou ishlari diqqatiga sazovordir. Shular bilan qisqacha tanishib chiqaylik.
Paskal ishlari Kovaleri prinsipiga yaqin bo’lib, u barcha bilinmaslarning yig’indisini ko’rinishida tushundi. Bu yuzachalar quydagicha chegaralangan: absissa o’qi kesmasi va to’g’ri chiziq bilan hamda bir-biriga cheksiz yaq in va bir xil masofada bo’lgan ordinatalar bilan chegaralangan, ya’nni .
Ferma esa Paskaldan ilgarilab ketdi. U bo’lishni ixtiyoriy qilib olgan. Natijada da n –kasr manfiy hol uchun hisoblash imkoni bo’ldi.
Jumladan
Demak, qaralyotgan yuza [O,X] absitsissa egri chiziqning 2 eng chekka ordinatasi va egri chiziqlar bilan chegaralangan. Integrallash intervali koordinatalarida bo’lgan kesmalarga bo’linadi.