10-Ma’ruza mashg’ulot: Stoks va Gauss Ostrogradskiy formulalari. Reja: Stoks va Ostrogradskiy formulalari

10-Ma’ruza mashg’ulot: Stoks va Gauss - Ostrogradskiy formulalari.
Reja:

1. 
   Stoks va Ostrogradskiy formulalari
   
2. 
   Ostrogradskiy formulasi.
   

12.9.1.Stoks formulasi. - sodda silliq sirt o‘zining parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lib, u - sodda chiziq bilan chegaralangan bo‘lsin. soha esa, chiziq bilan chegaralangan bo‘lsin. sirtning aniq bir tomonini belgilaymiz, ya’ni ni oriyentasiyalaymiz. Unda biz,
(12.6)
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula Stoks formulasi deyiladi.
Demak, Stoks formulasi, sirt integrali bilan, uning chegarasi bo‘yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi bog‘lanishni ifoda qilar ekan. Stoks formulasidan, xususiy holda, sirt sifatida tekislikdagi soha olinganda, desak, Grin formulasi kelib chiqadi. (12.6) formulaning o‘ng tomonidagi ikkinchi tur sirt integralini birinchi tur sirt integraliga aylantirsak, natijada
(12.7)
formulani hosil qilamiz.Bu (12.7) formula ham Stoks formulasi deyiladi.
12.9.2.Ostrogradskiy formulasi. fazodan yuqoridan tenglama bilan berilgan sirt bilan, quyidan tenglama bilan berilgan sirt bilan, yon tomondan esa, yasovchilari o‘qqa paralel bo‘lgan silindrik sirt bilan chegaralangan soha berilgan bo‘lsin. sohada uzluksiz funksiya berilgan va u uzluksiz xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Shu shartlarda,

formula o‘rinli bo‘ladi, bunda jismni chegaralanovchi sirt. (12.7) ning o‘ng tomonidagi integral sirtning tashqi tomoni bo‘yicha olingan.
Ushbu
(12.8)
formula Ostrogradskiy formulasi deb ataladi. (12.8) ning o‘ng tomonidagi ikkinchi tur sirt integralini birinchi tur sirt integraliga aylantirsak, u holda Ostrogradskiy formulasi

ko‘rinishni oladi, bunda sirt tashqi normalining koordinatalar o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
Shunday qilib, Ostrogradskiy formulasi soha bo‘yicha olingan uch karrali integral bilan ning sirti bo‘yicha olingan sirt integrali orasidagi bog‘lanishni ifodalar ekan.

Nazariy topshiriqlar
1. Agar funksiya sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya ham sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lishini, hamda

tengsizlikning o‘rinli ekanligini isbotlang.
2. Agar va funksiyalar sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib va uchun bo‘lsa, u holda tengsizlikni isbotlang.
3. Agar va funksiyalar sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib, hamda bo‘lsa, u holda

va xususiy holda, ekanligini isbotlang.
4. Agar va funksiyalar sirtda integrallanuvchi bo‘lib, esa, sirtda uzluksiz bo‘lsa, u holda nuqta mavjud bo‘lib, tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
5. funksiya sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsin. U holda tenglikni isbotlang, bunda - teskari oriyentasiyalangan sirt.
6. Sirt tenglamasi qanday ko‘rinishlarda beriladi. Ularning har biriga misollar keltiring.
7. sirt tenglamasi ko‘rinishda berilganda ( da differensiallanuvchi funksiya), sirt integrali qanday formula bo‘yicha hisoblanadi.