Mavzu: Yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integral. Nyuton- leybnis formulasi, aniq integralni hisoblash reja

ko’rinishiga keladi,

Demak,

Bundan,

ya’ni

Ф'(xo + o) = f (xo )

tenglik kelib chiqadi, Yuqoridagidek x

ya’ni

Ф'(xo – o) =f (xo)

tenglik ham o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi. Teorema isbot bo’ldi.

Agar f(x) f-ya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lib, x=a va x=b

nuqtalarda uzluksiz ( bunda fu-yaning x=a da o’ngdan, x=b da

chapdan uzluksizligi tushiniladi) bo’lsa u holda

Ф'(a+o)= f (a+o), Ф' (b-o) =f(b-o)

bo’lishi yuqoridagiga o’xshash ko’rsatiladi.

8-natijada f(x) f-ya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda

x ϵ[a,b] uchun

Ф'(x) = f(x)

bo’ladi.

Demak, Ф(x) funksiya f (x) ning [a,b] dagi boshlang’ich funksiyasi.

Endi quyi chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integralning qaraymiz

f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo;lsin. U holda bu

funksiya [x,b] < [a,b] (a ≤ x ≤ b) oraliqda ham integrallanuvchi va bu

integral x ga bog’liq bo’ladi. Uni

Φ(x)= (t)dt

deb belgilaymiz. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz

(a ≤ x ≤b)

Bunda esa,

Ф(x)= (t)dt-Ф(x)

bo;lishi elib chiqadi. Bu tenglik, Φ (x) funksiyaning xossalarini f(x)

hamda Φ(x) funksiyasining xossalari orqali o’rganish mumkinligini

ko’rsatadi. Jumladan, agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsa,

u holda

bo’ladi. Haqiqatdan ham, bu holda (t)dt mavjud va u chekli son,

Φ(x) funksiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra [a,b] da Ф'(x)

hosil aga ega bo’lib,

Ф'(x) =f(x)

Ф'(x) = - f(x)

Misol: 1

a)

b)

c)

Mavzuni mustahkamlash uchun misollar.

1.

2.

3.

B BX B jadvali