Mavzu: yuqori tartibli xususiy hosilalar. Reja ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

MAVZU: YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALAR.
REJA
1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient.
3. Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari.
4. Yuqori tartibli differensiallar.


1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi Δf funksiya orttirmasining Δx argument orttirmasiga nisbatining Δx→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.

Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga ∆x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +∆x,y) nuqta ham D sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi

∆x f = f (x+∆x , y) – f (x, y),
ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.
1-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha ∆х f xususiy orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbati ∆x→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi.
Bu hosila
Z_x’ , f_x’ , f_x’(x,y), kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi.
Ta’rifga ko‘ra (1)
Bu yerda ∆x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan,
f(x,y)=3x²siny+5xy+y²=>f_x’(x,y)=( 3x²siny+5xy+y²)’_x=(3x²siny) ’_x +(5xy) ’_x +(y²) ’_x=
3siny(x²) ’_x +5x(y) ’_x +(y²) ’_x=6siny+5y
Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning
Z_y’ , f_y’ , f_y’(x,y),
kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi:
(2)
Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz:
f_y’(x,y)=( 3x²siny+5xy+y²)’_y=(3x²siny) ’_y +(5xy) ’_y +(y²) ’_y=
3x²(siny) ’_y +5x(y) ’_y +(y²) ’_y= 3x²cosy+5x+2y
Yana bir misol sifatida
f(x,y)= arctgxy
funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:




Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya grafigi biror S sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli M0(x0, y0) nuqtani qaraymiz. Bu holda f(x,y0)=φ(x) bir o‘zgaruvchili funksiya bu S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror L chiziqni ifodalaydi. Shu sababli x bo‘yicha xususiy hosilaning son qiymati L chiziqqa M0(x0, y0) nuqta o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi. ) ,
Demak, f_x’(x₀,y₀) bo‘lib, bunda α burchak S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan L chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil

etgan burchakni ifodalaydi. Xuddi shunday, f_y’(x,y) soni S sirtni x=x0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan G chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.

Bir o‘zgaruvchili funksiya M0(x0) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning M0(x0, y0) nuqtada f_x’, f_y ‘ xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.
Masalan,
f(x,y)=
funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli (§1, (7) ga qarang) ekanligini ko‘rgan edik.
Ammo f(x,0)≡0 va f(0,y)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala
xususiy hosilalari mavjud va , bo‘ladi.
Berilgan z=f(x,y) funksiyaning

xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular х vа у o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘ladi va shuning uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, unda

z=f(x,y) funksiyaning х vа у argumentlari bo‘yicha II tartibli xususiy hosilalari,

esa z=f(x,y) funksiyaning II tartibli aralash hosilalari deyiladi. Shunday qilib jami 4 ta II tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz.
Masalan, z=3x²y+5x-3y+4 funksiyaning I tartibli xususiy hosilalari
f ’_x =(3x²y+5x-3y+4)’=6xy+5 ; f ’_y =(3x²y+5x-3y+4)’=3x²-3
bo‘lgani uchun uning II tartibli hosilalari quyidagicha bo‘ladi:
f_xx’’=(f_x’)’_x=(6xy+5)_x’=6y ; f_yy’=(f_y’)’_y=(3x²-3)_y’=0
f_xy’’=(f_x’)’_y=(6xy+5)_y’=6x ; f_yx’=(f_y’)’_x=(3x²-3)_x’=6x

Yana bir misol sifatida yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x,y)= arctg(xy²) funksiyaning II tartibli hosilalarini topamiz: )

Bu misollarda II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng, ya’ni ekanligini ko‘ramiz. Ammo bu tenglik barcha funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lishi shart emas.