Механик система

Ўққа нисбатан инерция моменти. Инерция радиуси.
Жисм (система)нинг берилган Оz ўққа нисбатан инерция моменти деб, жисм (система)нинг барча нуқталарининг массаларини шу ўққача бўлган масофалар квадратларига кўпайтмаларининг йиғиндисига тенг бўлган, скаляр қийматга айтилади:
J_z=m_k (2)
Юқоридаги ифодага асосан, жисм (ёки система)нинг ихтиёрий ўққа нисбатан инерция моменти, фақат мусбат қийматдан иборат бўлиб, ҳеч қачон нолга тенг бўлмайди.
Илгариланма ҳаракатларда жисмнинг инертлик хусусиятини унинг массаси қандай белгилаган бўлса, айланма ҳаракатдаги жисмнинг инертлик хусусиятини ўққа нисбатан инерция моменти белгилайди, яҳни ўққа нисбатан инерция моменти айланма ҳаракатдаги жисмнинг инертлик ўлчови бўлиб хизмат қилади.
(2) формулага асосан, жисмнинг инерция моменти, унинг барча қисмларининг ўша ўққа нисбатан инерция моментларининг йиғиндисига тенг экан. Айланиш ўқидан h -масофада жойлашган моддий нуқтанинг инерция моменти, J_z=mh² -га тенг бўлади. СИ системасида инерция моментининг ўлчов бирлиги 1 кгм² (МКГСС системасида -1 кгмс^-2).
Ўққа нисбатан инерция моментларини ҳисоблаш учун, ўқлардан системанинг нуқталаригача бўлган масофаларни уларнинг x_k, y_k, z_k координаталари (масалан, нуқтадан Ох ўқигача бўлган масофанинг квадрати + ) орқали ифодаланади. У ҳолда, Оxyz ўқларига нисбатан инерция моментлари қуйидаги формулалар орқали ифодаланади,
J_x= m_k( + ), J_y= m_k( + ), J_z= m_k( + ). (3)
Аксарият, ҳисоблаш ишларида инерция радиуси деган иборадан фойдаланилади. Оz ўқига нисбатан инерция радуси _z деб, қуйидаги мусбат скаляр ифодага айтилади,
J_z=M (4)
бу ерда М - жисмнинг массаси. Юқоридаги ифодадан кўриниб турибдики, инерция радиуси бу Оz ўқидан шундай нуқтагача бўлган масофадан иборат эканки, жисмнинг бутун массасини шу нуқтага жойлаштириб, сўнгра шу массанинг Оz ўқига нисбатан олинган инерция моментига тенг экан.
Инерция радиусини билган ҳолда, (4) формула орқали инерция моментини аниқлаш мумкин ёки инерция моментини билган ҳолда инерция радиусини аниқлаш мумкин.
(2) ва (3) формулалар, қаттиқ жисм учун ҳам, моддий нуқталарнинг ихтиёрий системалари учун ҳам ўринлидир. Агар жисм яхлит бўлса, уни элементар бўлакчаларга ажратиб юборилади, ҳар бир элементар қисмларнинг инерция моментлари (2)-нинг йиғиндисининг лимити интегралга айланади. Ъамда dm=dV, бу ерда -жисмнинг зичлиги, V-жисмнинг умумий ҳажми эканлигини эътиборга олсак, натижада
J_z= ёки J_z= (5)
Бу ердаги интеграл жисмнинг бутун ҳажми бўйича олинади, лекин  -зичлик ва h - масофа, ҳар бир нуқтанинг координатасига боғлиқ равишда ўзгаради. Яхлит жисмларнинг ўққа нисбатан инерция моментлари (3) ҳам, худди шу каби ифодаланади,
J_ч= ва ҳ . (5’)
Бир жинсли тўғри шаклдаги жисмларнинг инерция моментларини ҳисоблашда (5) ва (5’) формулалар жуда катта қулайликлар туғдиради. Ъамда жисмнинг зичлиги ўзгармас қиймат бўлганлиги сабабли интеграл остидан чиқариб юборилади.
Бир жинсли баъзи бир жисмларнинг инерция моментларини аниқлаймиз.
1. Массаси М ва узунлиги l -бўлган бир жинсли ингичка стержен берилган бўлсин. Шу стерженнинг ўқига перпендикуляр бўлиб, унинг А учидан ўтувчи Az ўққа нисбатан инерция моменти аниқлансин (275 шакл). АВ стержен бўйлаб, Ах ўқини ўтказамиз. У ҳолда узунлиги dx бўлган ихтиёрий элементар кесманинг Az ўқигача бўлган масофаси h=x, ва массаси dm=₁dx, бу ердаги ₁=M/l - стерженнинг узунлик бирлигининг массаси. Буларни эoтиборга олиб (5) формула орқали¹,
J_A= dm=₁ dx= ₁l³/3
Бу ифодадаги ₁ -нинг қийматини ўрнига қўйсак,
J_a=Ml²/3 (6)
бўлади.
2. Массаси М ва радиуси R -га тенг бўлган бир жинсли ингичка ҳалқа. Бу жисмнинг ҳалқа текислигига перпендикуляр бўлган ва унинг геометрик маркази С нуқтадан ўтувчи Cz ўқига нисбатан инерция моментини ҳисоблаймиз (276 шакл). Халқанинг барча нуқталари Cz ўқидан бир хил h_k=R масофада жойлашган эканликлари сабабли, (2) формула орқали қуйидагини ёзамиз,
J_C=m_kR²=(mk)R²=MR²
Демак, ҳалқанинг Cz ўқига нисбатан инерция моменти²,
J_C=MR² (7)
Массаси М, радиуси R-га тенг бўлган цилиндрсимон юпқа юзанинг ўқидан ўтувчи ўққа нисбатан инерция моменти учун ҳам, шу формуладан фойдаланилади.

275 шакл 276 шакл 277 шакл.
3. Массаси М, радиуси R-га тенг бўлган доирадан иборат пластина ёки цилиндр.
Доиравий пластинанинг унинг марказидан ўтувчи ва доира текислигига перпендикуляр бўлган Сz -ўққа нисбатан инерция моментини аниқлаймиз (276 шакл). Доирадан эни dr-га тенг ва радиуси r -бўлган ҳалқа ажратиб оламиз (277, а шакл). Ушбу ҳалқанинг юзаси 2rdr, массаси dm=_z2rdr бу ердаги _z=M/r²- пластина юза бирлигининг массаси. У ҳолда ажратилган элементар ҳалқа учун (7) формула орқали инерция моменти dJ_C =r²dm=2_zr³dr бўлади ва бутун ҳалқа учун аниқлаймиз,
J_C=2_z rdr=_zR⁴/2
_z—нинг қийматини келтириб қўйсак,
J_C=МR²/2 (8)
Массаси М, радиуси R -бўлган бир жинсли доиравий цилиндрнинг J_z -ўққа нисбатан инерция моменти ҳам шу формула орқали ҳисобланади (277, б шакл).
4. Тўғри бурчакли пластина, конус ва шар. Келтириб чиқаришга оид ҳисоблаш ишларини бажармасдан қуйидаги жисмларнинг инерция моментларини бевосита келтирамиз (буларни талалабаларнинг ўзлари келтириб чиқаришлари мумкин, ёки махсус справочниклардан аниқлаб олишлари ҳам мумкин).
а) Массаси М, томонлари АВ=а ва BD=b (х-ўқи АВ бўйича йўналтирилган, у -ўқи BD бўйича йўналтирилган) бўлган тўғри бурчакли яхлит пластина нинг инерция моменти:
J_x=Mb³/3, J_y=Ma³/3;
б) Массаси М, асосининг радиуси R бўлган яхлит тўғри конуснинг инерция моменти (z ўқи конуснинг ўқи бўйлаб йўналган):
J_z=0,3MR²
в) Массаси М, радиуси R бўлган яхлит ш а р (z ўқи шарнинг диаметри бўйлаб йўналган)
J_z=0,4MR²
Бир жинсли бўлмаган, ёки мураккаб конфигурацияли жисмларнинг инерция моментларини махсус приборлар ёрдамида тажриба усули билан аниқланади. Шундай усуллардан бирини §129 да кўриб ўтилади.