Метод Фурье в цифровой обработке решении информации. Спектральный анализ

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема (Теорема Дирихле). Если функция имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях x , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна ,т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
Функция , для которой выполняются условия теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной на отрезке .
Теорема. Если функция имеет период , кроме того, и ее производная – непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях x, причем в точках непрерывности его сумма равна , а в точках разрыва она равна . Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно-гладкой на отрезке .
Вариант-9

f(x) = 3-4·x, [-pi;pi]

Разложение в ряд Фурье на интервале(-T;T) имеет вид:




Для наших данных:
T = 2·π

 =  =  =  = 
 =  =  =  =  = 0
 =  =  =  =  = 8*
Окончательно, получаем:

Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–2; 2).

f(x) = x+1, [-2;2]

Разложение в ряд Фурье на интервале(-T;T) имеет вид:




Для наших данных:
T = 4


 =  =  = =  = 2*
 =  =  = =  = 4*