Метод Монте-Карло

Статистика

При конечной статистике лучшим приближением для математического ожидания будет выражение
- линейность выражения сохранена для перехода в точное при N®Ґ
Оценка характеристики случайной величины по статистике является несмещенной, если
Оценка является эффективной, если ее дисперсия - наименьшая:

Расчет интегралов методом Монте-Карло

Процесс создания на ЭВМ случайной величины с заданным распределением называется ее розыгрышем
Любой определенный интеграл можно рассматривать как математическое ожидание:
В соответствии с определенной статистикой его можно вычислять как среднее:
Конструктивность случайной величины – создание произвольной случайной величины из стандартной α[0,1] – генератор случайных чисел.

Общая схема Монте-Карло

За критерий эффективности алгоритма обычно берут tЧDz, где t - время счета одного испытания
1. По N независимым значениям a конструируются N случайных величин x распределенных на множестве X с плотностью вероятности p(x);
2. Производится оценка интеграла по математическому ожиданию z=f(x)/p(x) как среднего арифметического
3. Погрешность оценки проводится по центральной предельной теореме по дисперсии Dz/N:
Дисперсия метода Монте-Карло зависит от выбора плотности вероятности:

Моделирование непрерывных случайных величин

Эффективность метода Монте-Карло возрастает с ростом кратности интеграла
Для простоты p(x)>0, тогда F(x) строго монотонно возрастает на [a, b] от 0 до 1
 уравнение F(x)= имеет только один корень:
Для многомерных случайных величин F(x1, …, xn)=F(x1)Ч…ЧF(xn) , и каждая координата разыгрывается независимо друг от друга:
Теорема: Случайная величина x, удовлетворяющая уравнению распределена на отрезке [a, b] с плотностью вероятности p(x).
При независимых координатах (аргументах) имеем

Пример расчета интеграла

Метод Монте-Карло позволяет вычислить не только значение интеграла, но и оценить точность вычислений

Многомерные случайные величины

Розыгрыш многомерной независимой случайной величины аналогичен совокупности одномерных
Простейший случай независимых случайных величин, например, q – зенитный угол, j – азимутальный угол: F(x1, …, xn)=F(x1)…F(xn)