Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках

3.Аппроксимация по времени. В данной работе для эффективного продвижения по временной координате используются аддитивные разностные схемы [17-19]. Схемы расщепления используются нами для получения не связанных друг с другом сеточных задач для скорости и давления на каждом новом временном шаге. 
Вычислительная реализация разностных схем для задач гидродинамики в естественных переменных традиционно основывается на раздельном решении задач для скорости и давления. Опираясь на такую схему физического расщепления, будем строить разностные схемы расщепления для дифференциально-разностной задачи (13)-(14). 
Будем использовать равномерную по времени сетку с шагом т>0: 
Как и в работе [14], уравнение (13) запишем в виде:

T .

(27)

где 

.

(28)

Из теории разностных схем [19] известно, что для линейных задач аддитивные схемы (включая схему Дугласа-Рекфорда [25] для двумерного уравнения теплопроводности) с двумя операторами A₁≥О и A₂≥0 являются абсолютно устойчивыми. В нашем случае, в силу свойств (j)-(jjj) разностных операторов K(w), Р и N, имеем: А₁>0, А₂=-А^*₂. Таким образом, мы можем использовать известные абсолютно устойчивые схемы расщепления для уравнения (27). Подчеркнем еще раз, что для нашей нелинейной задачи об устойчивости можно говорить только в применении к линеаризованной задаче (устойчивость в линейном смысле).
В работе [14] было проведено сравнение двух хорошо известных абсолютно устойчивых в линейном случае схем расщепления в применении к задачам гидродинамики. Сравнивались схемы типа Писмена-Рекфорда, имеющие второй порядок аппроксимации по времени, и полностью неявные схемы типа Дугласа-Рекфорда. Схемы типа Дугласа-Рекфорда оказались более предпочтительными [14]. 
Запишем чисто неявную факторизованную схему с линеаризованными конвективными слагаемыми, которая является аналогом классической схемы Дугласа-Рекфорда [25] для двумерного уравнения теплопроводности:

	.	(29)
		(30)

где 

.

Схема (29)-(30) является известной схемой предиктора-корректора, которая часто используется в методах коррекции давления типа SIMPLEC для расчетов несжимаемых и слабо сжимаемых течений.
4. Численная реализация. Остановимся на численной реализации схемы
(29)-(30), дополненной разностным уравнением неразрывности (15). Здесь
операторы V(w)t N, grad/, и С!1УЛ определены выражениями (17), (16), (22) и
(25) соответственно.
Уравнение (29), учитывая вид операторов А1 и А2> можно записать в
виде

(31)

Это уравнение используется для нахождения скорости w^n+1/2. Давление здесь берется с предыдущего временного слоя.
Коррекция по давлению (стабилизирующая добавка) осуществляется на
втЪром этапе, когда решается уравнение, получаемое при вычитании из

урав­нения (29) уравнения (30):

Или

(32)

Уравнение (32) рассматривается как уравнение для определения давления на новом временном слое и решается совместно с уравнением неразрывности

П окажем, как из уравнения (32) и уравнения неразрывности получается дискретная эллиптическая задача для нахождения давления. Запишем уравне­ние (32) в следующем виде:
(34)
Обозначим через др поправку давления, то есть др=р^п+1 - р^п. Для более краткой записи уравнений и более простой численной реализации алгоритма удобно ввести фиктивные узлы для поправки давления и доопределить:


Подставим wⁿ⁺¹ в уравнение (34) и учтем, что w^nl+1(x) = 0 в граничных узлах (для хє дῳ), В результате получим для определения поправки др задачу Нейма­на для уравнения Пуассона:
Для однозначного определения давления используется условие.

которое непосредственно следует из аппроксимации уравнения (6).
При внимательном рассмотрении видно, что задача для давления (36)­- (38) распадается на четыре задачи на непересекающихся множествах узлов сетки. Первое множество включает четные по i и четные по J узлы, второе - нечетные по i и четные по J, третье - четные по i и нечетные по J, четвер­тое — нечетные по i и нечетные по J узлы сетки. На каждом из четырех под­множеств имеем задачу с обычным пятиточечным разностным оператором Лапла­са.
Для разностной задачи (36)-(38) должно быть выполнено условие разре­шимости. Оно является разностным аналогом условия разрешимости дифферен­циальной задачи

Выполнение условия разрешимости для разностной задачи (36)-(38) проверяет­ся непосредственно.
Отметим, что граничные условия (37),(38) для уравнения (36) являются прямыми алгебраическими следствиями исходных разностных уравнений движения и неразрывности. При этом используется аппроксимация уравнения неразрыв­ности на границе области. Тогда как в большинстве других работ сначала получают уравнения для давления (или поправки давления) внутри области, а затем для получения граничных условий используются аппроксимации уравнений движения для одной из компонент на границе. Такие несогласованные аппрок­симации часто приводят к невыполнению условия однозначной разрешимости этой дискретной задачи. В этом случае для удовлетворения условия разреши­мости должны предприниматься дополнительные усилия (см., например, [3]).
Вычислительная реализация рассматриваемой схемы выполняются следующим образом. Вначале из уравнения (31) находится скорость w^n+1/2. При этом для каждой компоненты скорости имеем сеточную задачу Дирихле для несамосопря­женного эллиптического оператора, однозначная разрешимость которой обеспе­чивается свойствами разностных операторов V(wⁿ) и N. После этого определя­ется давление на основе решения задачи Неймана (36)-(38). Наконец, ско­рость на новом временном слое определяется по явным формулам (33).
Для дискретного решения уравнений (31), (36)-(38), (33) справедлива оценка

где w°=w(x,0), р°=р(х,0). Доказательство справедливости этой оценки приве­дено в работе [14].

Оценка (40) является безусловной, т.е. она получена без каких-либо ограничений на параметры расчетной сетки и является разностным аналогом априорной оценки (11). Эта оценка гарантирует ограниченность разностного решения в используемой норме. Оценка (40) обеспечивает также устойчивость по начальным данным и правой части, но только для нулевого решения раз­ностной краевой задачи в силу ее нелинейности.
Естественно ожидать (и приведенные ниже расчеты это показывают), что разбиение задачи для давления на четыре независимых задачи приводит к поя­влению осцилляций от узла к узлу из-за отличий четырех решений. Однако, на каждом из четырех подмножеств узлов сетки решения являются гладкими. При этом компоненты скорости на разных подмножествах узлов отличаются незначи­тельно, а очень сильно разнятся давления, что проиллюстрированно ниже ре­зультатами расчетов. Для практических расчетов такая разностная схема яв­ляется непригодной.

1. 
   Регуляризированная разностная схема. Для решения проблемы, связан­ной с разбиением задачи для давления на независимые подзадачи, естественно попытаться каким-либо образом связать вместе искомые величины на четырех подмножествах узлов.
   

В работах [3-13] эта проблема решается путем введения в уравнение неразрывности дополнительных членов, содержащих давление. Для этого либо используются аппроксимации уравнения движения в полуцелых узлах [5-13], либо изначально дифференциальная задача переформулируется так, чтобы вмес­то уравнения неразрывности в систему входило уравнение эллиптического типа для давления [3,4].
Исходя из анализа результатов работ [3-13], будем добавлять в уравне­ние неразрывности дополнительные члены. Будем требовать чтобы: (а) в новой задаче для давления нужно было обращать какой-либо известный простой опе­ратор, для которого имеются эффективные методы решения; (б) эти дополни­тельные члены обладали необходимым порядком малости для сохранения порядка аппроксимации; (в) не нарушался общий баланс массы; (г) оператор Р в ре­зультате введения дополнительных членов обладал определенным свойством, а именно Р^О (см. (19)). Последнее требование нужно для получения безуслов­ной априорной оценки дискретного решения.
В результате приходим к следующей удобной и удовлетворяющей требова­ниям (а)-(г) форме регуляризированного уравнения неразрывности, не встре­чающейся в работах [3—13]:
Здесь Λ и Λ^* являются разностными операторами Лапласа соответственно на обычном и расширенном шаблонах. Для стандартного оператора Лапласа имеем
А налогично определяется Λ₂.
О ператор Λ определяется следующим образом:

δ

Операторы Λ^- и Λ аппроксимируют со вторым порядком дифференциальный оператор Лапласа на множестве функций с нулевой нормальной производной на границе. Следовательно, введеный нами дополнительный член е(Λ-Λ^‑)р в правой части уравнения неразрывности формально имеет порядок малости O(єh²) для достаточно гладких функций.
Остановимся на свойствах введеного оператора е(Λ-Λ^‑). Во-первых, введение дополнительного члена е(Λ- Λ^‑)р не нарушает свойства консерватив­ности разностного уравнения неразрывности. Консервативность понимается как выполнение разностного аналога интегрального закона сохранения массы. Дей­ствительно, нетрудно убедиться, что
Скалярное произведение определено выше выражением (24).
Во-вторых, покажем, что -(Λ-Λ^‑)≥ 0. Нетрудно проверить, что справедливы равенства