Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках

МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЕСТЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ НА НЕРАЗНЕСЕННЫХ СЕТКАХ 
© П.Н. Вабищевич, А.Н. Павлов, А.Г. Чурбане^ 
Институт математического моделирования РАН, Москва 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 94-01-01448). 
В работе предложены и исследованы разностные схемы расщепления для решения уравнений Навье- Стокса для несжимаемой жидкости в естественных переменных на неразнесенной сетке. Для разностного решения краевой задачи получена априорная оценка, согласованная с оценкой исходной дифференциальной задачи. С использованием операторного подхода, сформулированы требования к разностным операторам, при выполнении которых удается получил» оценку дискретного решения. Схемы имеют второй порядок аппроксимации по пространству внутри области и первый - на границе. Показано, какого вида осцилляции решения возникают при точном (до ошибок округления) решении уравнения неразрывности. Предложен способ регуляризации разностных схем путем введения в разностное уравнение неразрывности регуляризатора - дополнительных членов порядка малости О(ъh²). Регуляризированные схемы приводят к решениям без осцилляций. Возможности метода демонстрируются на примере решения стандартной тестовой задачи о течении в каверне с движущейся крышкой. Приведены результаты расчетов для чисел Рейнольдса Re=100, 400, 1000, 3200 на последовательности сеток 21x21, 41x41, 81x81 и 161x161. 
NUMERICAL METHODS FOR UNSTEADY INCOMPRESSIBLE FLOWS USING PRIMITIVE VARIABLES AND NON-STAGGERED GRIDS 
P.N. Vabishchevich, A.N. Pavlov and A.G. Churbanov 
Institute for Mathematical Modeling, Russian Ac. Sci., Moscow 
New implicit finite-difference schemes for solving the time-dependent incompressible Navier- Stokes equations using primitive variables and non-staggered grids are presented in this paper. A priori estimate for the discrete solution of the methods is obtained. Employing the operator approach, some reΩuirements on difference operators of a scheme are formulated in order to derive the scheme which is essentially consistent with the initial differential equations. Operators of the scheme heritage the fundamental properties of corresponding differential operators and this allows a priori estimates for the discrete solution to be obtained. To derive the consistent scheme, special approximations for convective terms, div and grad operators are employed. Used spatial approximations are of the second order within computational domain and of the first order at the boundary. The checkerboard solution oscillations are illustrated for the case that the discrete continuity eΩuation is solved in unmodified form. To obtain a smooth discrete solution, a scheme with additional regularizing terms is derived. The terms are proportional to rh². It is shown that the derived scheme has a very weak restriction on the time-step size. A lid-driven cavity flow has been predicted to examine stability and accuracy of the scheme for Reynolds number up to 3200 on the seΩuence of grids with 21x21, 41x41, 81x81 and 161x161 grid points. 
Введение. Наиболее распространенный подход к решению уравнений Навье- Стокса в естественных переменных существенно использует замену разностного уравнения неразрывности на разностное уравнение Пуассона для давлейия [1]. Следуя этому подходу, сначала строятся разностные уравнения, аппроксимирующие уравнения сохранения массы и импульса, а затем, путем алгебраических преобразований, выводится уравнение Пуассона для определения давления. Это уравнение используется при расчетах вместо уравнения неразрывности. 
Традиционно в методах такого типа использовались разнесенные сетки МАС-типа [2], когда давление и скорости в двумерных задачах определяются на трех сдвинутых относительно друг друга сетках (разнесенные сетки). Под неразнесенной (совмещенной) будем понимать сетку, на которой все переменные (компоненты скорости и давление) относятся к узлам одной сетки. 
При использовании неразнесенных сеток в описанном подходе возникает ряд сложностей. Основная сложность связана с тем, что точное (до ошибок округления) решение разностного уравнения неразрывности, без каких-либо его модификаций, приводит к осциллирующему дискретному решению [ 1]. Причина возникновения осцилляций состоит в том, что использование аппроксимаций второго порядка, то есть центральных разностей, для операторов дивергенции и градиента приводит к сеточному уравнению для давления на расширенном шаблоне. Задача распадается на несколько (четыре в двумерном случае) слабо связанных сеточных задач на непересекающихся множествах узлов. Как следствие, в расчетах наблюдаются колебания давления и скорости по пространству от узла к узлу [1]. В данной работе приведены результаты расчетов, иллюстрирующие возникающие колебания. 
В настоящее время в ряде работ [3-13] предложены способы решения проблемы, связанной с возникновением этих колебаний. В отмеченных работах в разностное уравнение неразрывности явно или неявно вводятся дополнительные члены порядка O(τh²) или O(h²) , наличие которых позволяет перейти к задаче для давления на обычном нерасширенном шаблоне. Аналогичный способ регуляризации использован в данной работе. 
В предыдущей работе авторов [14] предложен и исследован новый численный метод решения на неразнесенных сетках нестационарных уравнений Навье- Стокса для несжимаемой жидкости. Основная особенность предложенных в [14] разностных схем расщепления состоит в том, что разностные операторы этих схем наследуют основные свойства соответствующих дифференциальных операторов [15,16]. В этом случае для дискретного решения справедлива априорная оценка решения, аналогичная оценке непрерывного решения исходной дифференциальной задачи. 
Основное внимание в работе [14] было уделено формулированию требований к разностным операторам и получению априорных оценок дискретного решения. Для аппроксимации операторов градиента и дивергенции были использованы простейшие согласованные разностные операторы, содержащие направленные разности первого порядка аппроксимации. Как следствие, эти схемы имеют первый порядок аппроксимации, что является их основным недостатком. 
Данная работа является логическим продолжением предыдущей работы [14]. Целью работы является построение на неразнесенных сетках разностных схем, наследующих основные свойства исходной дифференциальной задачи и имеющих порядок аппроксимации выше первого. Под наследованием понимается то, что разностные операторы имеют те же свойства симметричности и кососимметричности, что и дифференциальные операторы, а для разностного решения верна соответствующая безусловная априорная оценка. 
В настоящей работе на неразнесенных сетках удалось построить такие разностные схемы, которые имеют второй порядок аппроксимации по пространству внутри области и первый порядок на границе. Для дискретного ’ решения краевой разностной задачи, так же как й в случае схем первого порядка [14], справедлива априорная оценка. Полученная безусловная (без каких-либо ограничений на шаги сетки по пространству и времени) априорная оценка аналогична той, которая справедлива для решения исходной дифференциальной задачи. 
В работе для эффективного продвижения по временной координате строятся схемы расщепления [17-19]. Использование техники расщепления операторов является обычной в численных методах нелинейной механики, газовой и гидродинамики [20-24]. В данной работе схемы расщепления, аналогичные схеме Дугласа-Рекфорда [25] для задачи теплопроводности в двумерном случае, используются для раздельного решения задач для скорости и давления. Однако в данном случае расщепление операторов по пространственным координатам не проводится. 
В работе вначале рассмотрен метод, в котором дискретное уравнение неразрывности решается "точно", то есть в том виде, в котором оно получается из согласованной аппроксимации операторов div и grad. В этом варианте для аппроксимации градиента давления в уравнении движения и дивергенции в уравнении неразрывности используются центральные разности второго порядка. При этом в уравнении для давления получается оператор Лапласа на расширенном (через узел) шаблоне. Задача для давления распадается на четыре задачи на непересекающихся множествах узлов. Результаты расчетов демонстрируют возникающие в этом случае колебания решения от узла к узлу. В то же время на каждом из четырех подмножеств узлов решения являются гладкими. В таком виде этот метод, несмотря на устойчивость и имеющуюся безусловную априорную оценку для дискретного решения, является малопригодным для практического использования. 
Далее в работе предложена модификация этой схемы, которая и является основным результатом работы. Второй вариант схемы отличается от первого тем, что в уравнение неразрывности добавлен регуляризирующий член порядка О(τh²) с целью получить дискретное решение без описанных выше колебаний, а также для упрощения сеточной задачи для давления. 
В отличие от работ [3-13], в которых для получения регуляризирующих членов используются аппроксимации уравнений в полуцелых узлах [5-13] или модифицированные формулировки исходной задачи [3,4], мы при построении регуляризирующих членов опирались на следующие соображения. Возмущение правой части разностного уравнения неразрывности дополнительными членами должно быть таким, чтобы в результате перехода к разностному уравнению для давления получался как можно более простой (с точки зрения его обращения) сеточный оператор в задаче для давления. При этом на вводимые регуляризи- рующие члены налагались дополнительные требования, чтобы: (а) эти члены обладали необходимым порядком малости для сохранения порядка аппроксимации; (б) не нарушался баланс массы в области решения; (в) для дискретного решения краевой задачи сохранилась безусловная априорная оценка. 
На неразнесенных сетках не удается получить разностные схемы второго порядка аппроксимации как внутри области, так и на границе, для решений которых были бы справедливы безусловные априорные оценки. Требование согласованности операторов, необходимое для получения априорной оценки дискретного решения, приводит к необходимости аппроксимировать уравнение неразрывности на границе области с первым порядком. Таким образом, полученные в работе схемы формально имеют порядок аппроксимации в интег 
ральных нормах (типа нормы в L₂). 
Возможности метода иллюстрируются на примере решения тестовой задачи о течении жидкости в каверне квадратного сечения с движущейся крышкой.