Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках

2.Аппроксимация по пространству. Построим разностные схемы, в которых разностные аналоги операторов V(v), и N наследуют их основные свойства (i)-(iii) и аппроксимируют их со вторым порядком внутри расчетной области. 
Для упрощения изложения рассматривается задача (7)-(8) в прямоугольной области ..Будем использовать равномерную по каждому пространственному направлению сетку с шагами и . Здесь - множество внутренних узлов, то есть 

а д - множество граничных узлов (без угловых точек) (риc.1). 
Р
ис.1. • - множество внутренних узлов w, о - множество граничных узлов дw. 
Пространство определяется как подпространство соленоидальных векторов пространства , вде Н — конечномерное гильбертово пространство сеточных функций со скалярным произведением

(12)

Поставим в соответствие задаче (7), (8) следующую дифференциальную по времени и разностную по пространству задачу:

		(13)
		(14)

 для достаточно гладких f(x,t), v₀(x). Здесь V, Р и N - разностные операторы. Решение будем искать на множестве векторов w из пространства сеточных функций, которые удовлетворяют некоторому разностному условию несжимаемости
где ῳ* некоторое (пока неопределенное) подмножество узлов сетки . 

(15)

В работе [14] показано, что разностные операторы N и V, определенные как 

(16)

И

где

(17)

наследуют основные свойства соответствующих дифференциальных операторов. Более точно, оператор N самосопряжен и положительно определен, то есть N=N*>0, а оператор V является кососимметричным (V=-V*). Эти разностные операторы имеют второй порядок аппроксимации. Здесь и далее для разностных производных используются стандартные обозначения теории разностных схем из [19].

(18)

Разностный оператор Р определяется выражением:
Для получения оценок дискретного решения оператор Р должен обладать, как это будет показано ниже, свойством:

(19)

 для всех Если (Pw,w)=0, то оператор Р будет наследовать свойство
кососимметричности. 
В [14] показано, что для получения кососимметричного оператора Р аппроксимация градиента давления в (18) и дивергенции скорости в уравнении (15) должна быть выбрана согласованно. Согласованный выбор определяется выполнением равенства 

(20)

где - определенное некоторым образом ^*скалярное произведение на сетке w * (в узлах w * задается давление и, в соответствии с (15), справедливо уравнение неразрывности). Следует подчеркнуть, что в формуле (20) в левой части скалярное произведение записано для пространства а в правой –
для Н. 
Из (20) видно, что при выполнении равенства div_hw=0 на множестве узлов w* будет выполнено , и, следовательно, оператор Р будет обладать свойством кососимметричности. 
После того, как будет выбран способ аппроксимации оператора градиента (сеточный оператор grad_h , из вида шаблона этого оператора станет ясно, на каком подмножестве узлов си* сетки, си должна быть определена сеточная функция р и оператор div_A, а из выражения (20) можно будет получить вид аппроксимации оператора div_h. 
В работе [14] рассмотрен случай, когда операторы gradh и div_h аппроксимируются согласованно в отмеченном выше смысле направленными разностями первого порядка, например, 

.

(21)

 В данной работе мы ориентируемся на использование согласованных аппроксимаций второго порядка. 

Пусть 

.

(22)

Для того, чтобы определение оператора grad_h в виде (22) имело смысл, сеточная функция р должна быть задана на множестве узлов ῳ*= ῳ. 

(23)

где

(24)

и

(25)

При определении оператора grad_h выражением (22) на основании .разностных формул суммирования по частям [19,27] имеем
Тем самым оператор дивергенции аппроксимируется центральными разностями второго порядка внутри области и направленными разностями первого порядка на границе дсо. Пара операторов gradh (22) и div_A (25) является согласованной. 
Еще раз подчеркнем то обстоятельство, что желание построить согласованные друг с другом операторы gradh и div_A привело нас к аппроксимации оператора div_A вида (25) с первым порядком на границе области. Построить согласованные в описанном выше смысле операторы gradh и div_A более высокого порядка аппроксимации на неразнесенных сетках нам не удалось. 
Таким образом введенные разностные операторы в Н2 полностью наследуют основные свойства дифференциальных операторов V(v), Р и N а именно:

		(i)
		(ii)
		(iii)

 В силу этого для дискретного по пространству решения дифференциально -разностной задачи (13)-(14) имеем априорную оценку [14]:

(26)

которая согласуется с оценкой (11) для исходной задачи (1)-(6).