Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках

Воспользовавшись последним неравенством, можно убедиться, что

Следовательно,
Теперь, имея оценку (45) для оператора из правой части уравнения неразрывности (41), легко получить важное свойство оператора Р. Проделав
следующие простые выкладки:

у беждаемся, что оператор Р обладает важным свойством:

6. Оценка дискретного решения регуляризированной схемы. Получим оценку решения разностной схемы (29)-(30), дополненной модифицированным уравнением неразрывности (41).
Уравнение (29) и разность уравнений (29) и (30) (уравнение (32)) перепишем в виде
Умножим скалярно уравнение (47) на (E+A₁)w^n+1/2 и, используя неравенство Шварца для оценки правой части, получим неравенство
которое понадобится нам ниже.
Правая часть уравнения (48) преобразуется с учетом уравнения (47) следующим образом:
Подстановка преобразованной правой части в (48) дает равенство:


Умножим скалярно это уравнение на (Е+↊A₂)у^п+1 и, используя неравенство Шварца для оценки правой части, получим
К ак известно, для любого оператора В≥0 справедлива оценка


Поэтому, используя неравенство (49), имеем оценку второго члена правой
части неравенства (50):
Используя полученное неравенство для оценки правой части неравенства
(50) приходим к следующей оценке
С учетом свойства (46) оператора Р (оператора А₂) легко показать, что
справедливо неравенство:
В силу этого неравенства оценка (52) принимает вид
где w°=w(x,0), р°=р(х,0).
Оценка (53) является безусловной, т.е. получена без каких-либо ограничений на параметры расчетной сетки и является разностным аналогом априорной оценки (11).
7. Численная реализация схемы с регуляризацией. Остановимся на вопросах численной реализации схемы (29)-(30), дополненной модифицированным
разностным уравнением неразрывности (41). Уравнения (29)-(30) запишем с
учетом конкретного вида операторов Аъ А2 и вместо уравнения (30) возьмем
разность этих двух уравнений, как это было уже сделано выше:
Здесь операторы V(wⁿ), N grad_h, и div_h,, определены выражениями (17), (16),(22) и (25) соответственно.
Для нахождения промежуточной скорости w^n+1/2 используется уравнение (54), которое не претерпело никаких изменений. Уравнение коррекции по давлению (стабилизирующая добавка) также не меняется. Приведем здесь это уравнение в преобразованном виде (33):


Заметим, что для решения уравнения (58) необходимо обращать обычный
оператор Лапласа на обычном пятиточечном шаблоне. Именно случай е = т использовался нами для расчетов.
Приведем метод в окончательном виде, то есть последовательность уравнений, которая решается при переходе с одного временного слоя на другой.
Заметим, что для решения уравнения (58) необходимо обращать обычный
оператор Лапласа на обычном пятиточечном шаблоне. Именно случай є = ↊ использовался нами для расчетов.
Приведем метод в окончательном виде, то есть последовательность уравнений, которая решается при переходе с одного временного слоя на другой.Для разностных производных используем безындексные обозначения:
а) расчет промежуточной скорости:




c) вычисление давления и скорости на новом слое:
Сделаем замечания о свойствах приведенного метода.
В предложенной регуляризованной разностной схеме уравнения аппрокси­мируются с первым порядком по времени и со вторым порядком по пространству внутри расчетной области. Уравнение неразрывности аппроксимируется на гра­нице с первым порядком. Отметим, что дополнительный регуляризирующий член в уравнении неразрывности формально имеет порядок малости О(тЪ²). Так как нами используются схемы первого порядка аппроксимации по времени и второго по пространству, то с точки зрения аппроксимации такой регуляризатор явля­ется оптимальным.
Регуляризирующий член введен так, что он не нарушает свойства консер­вативности (в смысле выполнения разностного аналога интегрального закона сохранения массы).
Для разностной задачи Неймана с уравнением Пуассона (62) и граничными условиями (63), (64) выполнено условие разрешимости алгебраической системы уравнений.
Единственность решения обеспечивается условием (59).
Для дискретного решения выполнена априорная оценка (53).
Недостатком метода является потеря порядка (до первого) аппроксимации на границе расчетной области.
Численные эксперименты. Для исследования свойств рассматриваемых
разностных схем решалась тестовая задача о течении несжимаемой жидкости в каверне квадратного сечения с подвижной верхней крышкой. Рассматривались как зависящие от времени, так и стационарные решения (установившиеся повремени). Для сравнения стационарных решений использовались данные прецизионных расчетов из работы [28], полученные на подробной сетке 257x257 узлов.

В настоящей работе расчеты выполнены на последовательности равномер­ных сеток 21x21, 41x41, 81x81 и 161x161 для чисел Рейнольдса Re = 100, 400, 1000, 3200.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений использовались следующие методы: модифицированный метод сопряженных градиентов - неполно­го разложения Холесского (ICCG) для решения симметричной задачи для урав­нения Пуассона и метод сопряженных градиентов с предобуславливанием (ORTOMIN(l)) для несимметричных задач для уравнения движения. Нами были использованы очень эффективные реализации этих методов (см. работу [30] для симметричных и работу [31] ~ для несимметричных задач), основанные на последних достижениях в теории итерационных методов решения сеточных элли­птических задач.

8.1 Вначале приведем результаты расчетов по нерегуляризированной схеме (29)-(30) с уравнением неразрывности (34) с целью показать характер

возникающих осцилляций. Расчеты приведены для Re = 1000 на сетке с числом узлов 161x161.
На рис. 2(a), (Ь) приведены линии тока для установившегося течения. На рис. 2(a) приведено решение на всей сетке. Виден характер колебаний диск­ретного решения от узла к узлу. На рис. 2(b) приведены линии тока для ре­шения в нечетных по обоим индексам узлах сетки. На рис. 3(a-d) приведены линии уровня для давления отдельно для всех четырех подмножествах узлов. Решения различаются на четырех подмножествах узлов так сильно, что рисо­вать линии уровня для решения на всей сетке не имеет смысла. Как видно, на каждом из четырех подмножеств узлов решения являются гладкими.
На рис.4 приведены временные зависимости величины | ψ | _max, | ψ | - функция тока, полученные для разных шагов по пространству h=h₁=h₂, но при фиксиро­ванном малом шаге по времени τ=0.1.
8.2 Расчеты по регуляризированной схеме (60)-(66) (е = т) были выполнены на последовательности равномерных сеток 21x21, 41x41, 81x81 и 161x161
для чисел Рейнольдса Re = 100, 400, 1000, 3200.

Целью расчетов являлось:

(а) определить фактический порядок точности предложенных схем в зависимости от шагов сетки по пространству;
(б) показать характер зависимости нестационарного решения от шага по времени;
(в) показать зависимость скорости сходимости к стационарному решению от
шагов по времени и по пространству, а также определить границы допустимых шагов по времени.