Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках

1.Дифференциальная задача. С целью упрощения изложения рассматривается двумерная задача с однородными граничными условиями первого рода о нестационарном течении несжимаемой жидкости под действием объемно распределенной силы в ограниченной области с кусочно гладкой границей. Рассмотрение общих трехмерных задач о течении в ограниченной области Ω с кусочно гладкой границей бΩ проводится аналогично. 
В области Ω компоненты скорости v=(v₁,v₂) и нормализованное на плотность давление р определяются из уравнений неразрывности и движения, допол ненных граничными и начальными условиями: 

		(1)
		(2)
		(3)

(4)

Где Re - число Рейнольдса, f(x,t) - вектор объемных сил, V(v) - оператор конвективного переноса, ∆ — оператор Лапласа (∆ ≡ div grad). Считаем, что начальное распределение скорости v₀(x) удовлетворяет уравнению неразрывности (1). Отметим также, что начальные и граничные условия должны быть согласованы друг с другом. Особенность допускается только в граничных условиях для тангенциальной скорости [26].

(5)

Нами используется кососимметричная форма записи конвективных слагаемых в виде полусуммы этих слагаемых в дивергентной и недивергентной форме:
Отметим, что формы записи конвективных членов эквивалентны в дифференциальном случае, но обладают разными свойствами в дискретном случае. 
Для однозначного определения давления используется дополнительное условие 

(6)

 Движение жидкости в области на любой момент времени t > 0 полностью определяется уравнениями (1)-(6).
Пусть - гильбертово пространство функций со скалярным произведением 
и нормой ||w||²=(w,w) . Для множества векторов и определим гильбертово пространство как прямую сумму и так, что

Обозначим через H² подпространство H² соленоидальных функций, т.е. функций, удовлетворяющих уравнению неразрывности div v = 0. 

Задачу (1)-(4) можно записать в виде операторного уравнения: 

(7)

дополненного начальным условием 

(8)

 Решение этого уравнения v(x,t) ищется на подпространстве обращающихся в ноль на границе Ω функций из Таким образом, граничные условия и уравнение неразрывности неявно содержатся в записи задачи в виде (7)-(8). 
Здесь мы используем обозначение d/dt вместо d/dt, так как уравнение (7) имеет формальный вид не уравнения в частных производных, а обыкновенного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве Я² Другой (более традиционной в механике сплошной среды) смысловой нагрузки это обозначение не несет. 
В уравнении (7) оператор конвективного переноса V(v) задается согласно (5). Оператор Т, определяющий градиент давления, в уравнении (7) формально записан как действующий на скорость и задается соотношением

(9)

Оператор N учитывает действие вязких сил и имеет вид

(10)

Отметим, что формулировка задачи в виде (7)-(8) введена с целью сокращения выкладок. Обозначение для градиента давления использовано для того, чтобы важное свойство сопряженности со знаком минус операторов градиента и дивергенции можно было формально трактовать как свойство кососимметричности оператора .
В предыдущей нашей работе [14] отмечены хорошо известные (см., например, [15,16]) основные свойства операторов уравнения (7) в пространстве функций

		(i)
		(ii)
		(iii)

то есть (v) — кососимметричный, - кососимметричный, 
N - симметричный положительный оператор. 
Напомним, что кососимметричность оператора, например Т, означает, что для любого v из рассматриваемого пространства выполнено равенство 

Опираясь на свойства (i) - (iii) операторов (v), и можно показать (см. [14-16]), что для решения задачи (7)-(8) справедлива априорная оценка

(11)

 Из (11) следует ограниченность решения рассматриваемой задачи (1)-(6). Из этой оценки следует также устойчивость решения по начальным данным и правой части, но только для нулевого решения в силу нелинейности задачи.