Методическое пособие по теоретическим основам информатики Кубрякова Е. А. и книга Г. Б. Гашкова «Применение систем счисления»

Позиционные. Величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции этой цифры в записи числа. При получении величины числа выполняются операции сложения и умножения над цифрами, входящими в состав числа. Типичным примером является арабская система счисления, используемая всеми математиками. В позиционной системе число, записанное из двух единиц (11), обозначает величину одиннадцать, т.е. одна единица обозначает единицу, а вторая обозначает десять. В римской же системе счисления такое число (II) обозначало бы величину два. Несмотря на ограниченное количество цифр, позиционные системы позволяют записать любые величины, т.к. нет ограничений на количество использований цифр и разрядов числа. Кроме того, благодаря математику аль Хорезми существуют универсальные алгоритмы выполнения арифметических действий над любыми числами в арабской системе счисления, т.к. они сводятся к манипуляциям над отдельными разрядами числа.

Рассматривая произвольную систему счисления с основанием n>1, отметим, что число позиционных систем бесконечно. Для систем с основанием, не превышающем число 10, алфавит системы счисления будет состоять из соответствующих первых n цифр десятичной системы счисления начиная с 0. Для систем с основаниями, превышающимися 10, необходимо предложить способ записи каждой цифры в виде одного знака. Как правило, для этого используют букву латинского алфавита. В математическом отношении давно найден простой выход – каждая цифра, занимающая больше одного разряда, просто записывается в скобках. Например число A4F в шестнадцатеричной системе может быть записано как (10)4(15).
Для умножения числа на основание системы достаточно в целом числе справа дописать 0, в дробном – передвинуть разделитель на одну позицию вправо.
Для деления числа на основание системы нужно отбросить последнюю цифру (целочисленное деление) или же перенести разделитель на одну позицию влево [2].
§ 2. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую.
Уже достаточно давно разработаны алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Но прежде чем мы поговорим о них, дадим определение развернутой формы числа.
Возьмем для примера число 257,45 в десятичной система счисления и представим его в следующем виде:
Такая форма записи числа называется его развернутой формой. Вообще любое число в любой позиционной системе счисления можно записать в виде:
где q - основание системы счисления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа, ai - цифра числа, Aq - само число [3].
Запись расширенной формы числа в своей основе имеет так называемую схему Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена p(x) на х−a.
Перевод числа из n-ричной системы счисления в десятичную осуществляется записью и вычислением развернутой формы числа. Например, для перевода числа 403,155 в десятичную записываем развернутую форму числа:
=103,2810
Обратный перевод (из десятичной системы в любую другую) осуществляется для целой и дробной части отдельно.
Перевод целой части осуществляется путем деления по правилам десятичной системы счисления переводимого числа на основание системы, в которую осуществляется перевод. Перевод продолжается до получения неполного частного меньшего, чем основание системы. Результат записывается как последнее неполное частное, и все остатки, получаемые при делении в обратном порядке.
Пример: 20710=X5=13125
Заметим, что при переводе чисел в системы, основание которых превышает 10, каждая цифра очередного остатка или последнее неполное частное должно быть записано в один разряд.
Пример: 61210=X15=2AC15
Перевод дробной части осуществляется путем последовательного выполнения операций: умножения числа на основание системы, в которую выполняется перевод, и выделения в полученном результате целой части. Процесс продолжается до тех пор, пока после выделения целой части не останется число 0. Если процесс невозможно завершить, то говорят о том, что он выполнен с определенной степенью точности [2].
Пример 0,62510=X2=0,1012