Metrik fazolarda bog’lanish

Funksiya differensiali va taqribiy formulalar

^{f ( x)} funksiya ^{(a, b)}
intervalda aniqlangan bo’lib,
x₀ (a, b)
nuqtada chekli

0
f ^' (x )  0 xosilaga ega bo’lsin. Bu holda funksiya ottirmasining formulasini

y 
f ^(x₀ ) x  o(x)

Ko’rinishda yozish mumkin. Bu formulani hamda funksiya differensiali uchun

dy 
f ^' (x
) x
formulani e’tiborga olib topamiz:

0
lim ^y  lim
f ^(x₀ ) x  o(x) _{ lim[1} 1 _ o(x)_{]  1.}

x0 _dy
x0
f ^(x₀ ) x
x0
f ^(x₀ ) x

Shunday qilib, ^y

Ya’ni
. Natijada quyidagi

y  dy,

f (x₀  x) 
f (x₀ ) 
f ^(x₀ ) x
(5)

taqribiy tenglikka kelamiz. Ravshanki,
^{y  dy  o(x)} . Shuning uchun
^{x  0} da

(5) taqribiy tenglikning nisbiy xatosi nolga intiladi, ya’ni

y  dy _{ 0.}
x

(5) formula
x₀ (a, b)
nuqtada differensiallanuvchi
^{f ( x)} funksiyaning ^x₀

nuqtadagi ottirmasi ^y ni uning shu nuqtadagi differensiali ^dy bilan almashtirish
mumkinligini ko’rsatadi. Bu almashtirishning qulayligi, funksiya ottirmasi ^y

argument ottirmasi ^x
ning, umuman aytganda, murakkab funksiyasi bo’lgan

holda, funksiya differensiali ^dy esa ^x
ning chiziqli funksiyasi bo’lishidir. Agar

x  x  x₀
ekanini e’tiborga olsak, unda
^x₀ ^{ x  x} bo’lib, (5) formula quyidagi

f (x) 
f (x₀ ) 
f ^(x₀ )  (x  x₀ )
(6)

ko’rinishga keladi. Bunda
x₀ (a, b)
nuqta
x (a, b)
nuqtadan katta farq

qilmaydigan, ammo
f (x₀ )
qulayroq hisoblanadigan nuqtadir.

Masalan,
f (x)  sin x
bo’lib,
sin 29⁰
ni hisoblash talab etilgan bo’lsin. Bu xolda

0
x  30⁰
deyish qulay. (6) formulaga ko’ra
sin 29⁰  sin 30⁰  cos 30⁰ (29⁰  30⁰ )  ^2
360⁰
 0.5 

3 _ 2

2 360
 0.4848.

Bunda ¹⁰ ning radian o’lchovini yozish zarur, chunki hadlar radianlarda berilgan.

Demak,
^{sin 290  0.4848} .

Yuqoridagi (6) formula
x₀  0
bo’lganda ushbu

Ko’rinishni oladi.
f (x) 
f (0) 
f ^(0)  x
(7)

Malumki,
x₀ (a, b)
nuqtada differensiallanuvchi
^{f ( x)} funksiya grafigiga

(x₀ , f (x₀ ))
nuqtada o’tkazilgan urinma tenglamasi quyidagi

y  f (x₀ )  f ^(x₀ )(x  x₀ )
ko’rinishda yoziladi. Bundan ko’rinadiki, (6) taqribiy formula geomeyrin nuqtai

nazradan,
f ( x)
funksiya ifodalagan egri chiziqni
^x₀ nuqtaning yetarli kichik

atrofida shu funksiya grafigiga almashtirilishini bildiradi.
(x₀ , f (x₀ ))
nuqtada o’tkizilgan urinma bilan

2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari

f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada chekli
f ^( x)
hosilaga ega bo’lsa,

funksiyaning differensiali ushbu,
dy 
f ^(x)  dx  y^ dx
formula bilan

hisoblanishini ko’rdik. Demak, funksiyaning differensiali ^x va ^dx larga bog’liqdir.

Shuni takidlaymizki, ^dx miqdor
f (x)
funksiya argumenti ^x ning ixtiyoriy

orttirmasi ^x
ni ifodalab, ^dy miqdorni ^x o’zgaruvchi bo’yicha differensiallash

jarayonida uni o’zgarmas ko’paytuvchi sifatida qaraladi.

Faraz qilaylik, yuqorida qaralyotgan


f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada ikkinchi

tartibli
f ^'' (x)
hosilaga ega bo’lsin.

3-ta’rif.

f ( x)
funksiya differensiali ^dy ning
x (a, b)
nuqtadagi

differensiali funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi. Funksiyaning

ikkinchi tartibli differensiali
d ² f (x)
yoki
^{d 2 y} ka’bi belgilanadi, ya’ni

d ² y  d (dy)
yoki
d ² f (x)  d (df (x)).

Endi differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:

d ² y  d (dy)  d ( y^ dx)  dx  d ( y^)  dx  ( y^)^ dx  y ^(dx)².
Shunday qilib, funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali uning ikkinchi tartibli hosilasi orqali quyidagicha yoziladi:

bunda ushbu

d ² y  y^  dx² ,
(7)

d ² x  dx  dx  (dx)²
belgilashni kelishib olamiz.

f (x)
funksiya ^x
(a, b)
nuqtada 3-tartibli
f '''(x)
hosilaga ega bo’lsin.

Huddi yuqoridagiga o’xshash,
x (a, b)
nuqtada funksiyaning 3-tartibli

differensiali ta’riflanadi: differensiali uchun ushbu
^{d 3 y  d (d 2 y)} . Shunga ko’ra
f (x)
funksiyaning 3-tartibli

d ³ y  d (d ² y)  dx²d ( y ^)^  dx² ( y ^)^  dx  y ^  dx³

formula kelib chiqadi, bunda
^{dx3  (dx)3} .

Shu yo’l bilan funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ta’riflanadi. Umumiy

xolni qaraylik.


f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada n-tartibli
f ⁽ⁿ⁾ (x)
hosilaga ega

bo’lsin. Funksiyaning ^{(n 1)} -tartibli differensiali
_d (n1) _y
dan olingan differensial

f ( x)
funksiyaning
x (a, b)
nuqtada n  tartibli differensiali deb ataladi va u

^{d n y} yoki
d ⁿ f (x)
kabi belgilanadi, ya’ni

dⁿ y  d (d^n1 y)
yoki
dⁿ f (x)  d (d ^n1 f (x)).

Bu holda xam funksiyaning n-tartibli differensiali uning n-tartibli hosilasi orqali quyidagi

d ⁿ y  y⁽ⁿ⁾  dxⁿ
(8)

Ko’rinishda ifodalanadi. Uning to’g’riligini matematik induksiya usuli yordamida

isbotlash mumkin. Haqiqatan ham
^{n 1} va
n  2
bo’lganda (8) formulaning

to’g’riligi yuqorida ko’rsatildi. Bu (8) formula ^{n  k}
dao’rinli, ya’ni
d ^k y  y^(k)dx^k

bo’lsin deb, uning
n  k 1
da tog’riligini isbotlaymiz. Funksiyaning n-tartibli

differensiali ta’rifiga ko’ra
d ^(k1) y  d (d ^k y)
bo’lib, undan

d ^k1 y  d (d ^k y)  d ( y^(k)  dx^k )  dx^k  d ( y^(k) )  y^(k1)  dx^k1
ekani kelib chiqadi, ya’ni ushbu

_d k 1 _{y  y}(k 1) _{ dx}k 1
formula o’rinli. Demak, (8) formula ixtiyoriy n N
uchun to’g’ri.

Ma’lumki n-tartibli hosila ushbu
_y(n) _
d ⁿ y dxⁿ
ko’rinishda belgilagan edik. (8) esa

funksiyaning n-tartibli hosilasini qarash mumkinligini bildiradi.
d ⁿ y dxⁿ


deb belgilangan simvolni kasr sifatida

^{f ( x)} va
g(x)
funksiyalar ^{(a, b)}
intervalda aniqlangan bo’lib, ular
x (a, b)

nuqtada n-tartibli differensialga ega bo’lsin. U holda ushbu

1. 
   dⁿ[c  f (x)]  c  dⁿ f (x), c  const ;
   

2. 
   dⁿ[ f (x)  g(x)]  d ⁿ f (x)  d ⁿ g(x) ;
   

n n
3) dⁿ[ f (x)  g(x)]  dⁿ f (x)  g(x)  C¹d^n1 f (x)  dg(x) ...  C^kd^nk f (x) d^k g(x) ...  f (x)dⁿg(x)
formula o’rinli bo’ladi.
Endi murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallarni qaraymiz.

u  f (x)
funksiya ^{(a, b)}
intervalda
y  F (u)
funksiya esa ^{(c, d )}
intervalda

aniqlangan bo’lib, ular yordamida
y  F ( f (x))
murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin

(bunda, albatta
x (a, b)
_da u 
f (x) (c, d )
bo’lishi talab qilinadi). So’ngra

u  f (x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada
f '(x) ,
F (u)
funksiya esa mos
u(u 
f (x))

nuqtada
F ^' (u)
hosilalarga ega deb,
y  F ( f (x))  Ф(x)
murakkab funksiyaning

differensiali quyidagi
va


dy  Ф^(x)dx  [F ( f (x))]^dx
[F ( f (x))]^  F ^( f (x))  f ^(x)

Formulalarni e’tiborga olinsa,
dy  d[ f (x))]  F '( f (x))  f ^(x)dx  F ^( f (x))  df (x)
ko’rinishga ega bo’ladi.

(9)

Demak, funksiya murakkab bo’lgan holda ham funksiya differensiali funksiya

hosilasi
F ^( f (x))
bilan (bu holda argument
f ( x)
bo’ladi) argument
f ( x) _ning

differensiali
df (x)
ko’paytmasidan iborat ekanligini ko’ramiz.

Shunday qilib, qaralayotgan funksiyalar
f ( x)
(x-erkli o’zgaruvchi) ko’rinishda

bo’lganda ham, murakkab
y  F ( f (x))
ko’rinishda bo’lganda ham, bu

funksiyalarning differensiallari bir xil formaga ega bo’ladi. Odatda bu xossani differensial formasining invariantligi deyiladi. Bundan (3) formuladagi ^dx

argument ^x ning ixtiyoriy orttirmasi ^x ni ( dx  x ) bildiradi, (9) formuladagi

df (x)
esa ^x o’zgaruvchiga bog’liq bo’ladi.

Endi
y  F ( f (x))
murakkab funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini

hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra

d ² y  d ²[F ( f (x))]  d[d (F ( f (xx)))]
bo’ladi. Differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:

d ² y  d ²[F ( f (x))]  d[(F ^( f (x))  df (x)] 
d[F^( f (x))] df (x)  F^( f (x))  d[df (x)] 
 F ^( f (x))  df ² (x)  F^( f (x))  d ² f (x)

bundan Demak,
df ² (x)  df (x)  df (x)  (df (x))²
bo’ladi.

d ² y  d ²[F ( f (x))]  F ^( f (x))  df ² (x)  F ^( f (x))  df ²(x).
(10)

Bu (10) formula bilan (7) formulani taqqoslab, ikkinchi tartibli differensiallar differensial formasining invariantligi xossasiga ega emasligini ko’ramiz.

^{y  F ( f (x))} funksiyaning uchinchi va hokazo tartibli differensiallari

yuqoridagidek birin-ketin hisoblanadi.

2.