Mexanikada saqlanish qonunlari

Moddiy nuqtani markaziy kuchlar maydondagi harakatida uning sektorial tezligi doimiyligicha qoladi.
Bu qonun birinchi marta I.Kepler (1609) tomonidan sayyoralarini quyoshning markaziy tortishish maydonidagi harakatiga muvofiq ravishda aniqlandi. Uni Keplerning ikkinchi qonuni deyiladi.

2. Markaziy kuchlar maydonida harakatlanuvchi moddiy nuqta konservativ sistemani tashkil etadi, chunki bu tashqi maydon potensial va statsionar maydondir. Shuning uchun moddiy nuqta harakatida nafaqat uning impuls momenti, balki nuqtaning mexanik energiyasi ham saqlanadi:

(21)
Moddiy nuqtaning kinetik energiyasini (1.13), (1.14) va (19) munosabatlarga asoslanib quyidagi ko'rinishda ko'rsatish mumkin:
.
W_k ning bu ifodasini (21) ga qo’yib, uni ga nisbatan yechib,

natijani olamiz. (19) dan

bo'lishi kelib chiqadi. Shunday qilib,
(22)
bo'ladi.
3. Bu integralni topish uchun W_n potensial energiya bilan r orasidagi bog’lanishning aniq ko'rinishini bilish zarur. Biz oldin 3.3-§ da ko'rsatganimizdek, moddiy nuqta uchun (3.25) va (3.26) munosabatlar o'rinli bo'lgan markaziy maydondagi harakat katta amaliy ahamiyatga ega:
; va

bu yyerda .

W_n ning bu ifodasini (22) ga qo'yamiz:

Agar
,
belgilashlarni kiritsak, oxirgi integral jadvaldagidek ko'rinishni oladi:
, (22`)
bu yyerda j<sub>0</sub> - integrallash doimiysini hisob boshi sifatida, burchakni j =0 qilib olib, h =a bo'lganda nolga aylantirish mumkin. h va a ning ifodalarini (22`) ga qo’yib, moddiy nuqtaning trayektoriya tenglamasini olamiz:

yoki
. (23)
4. Agar moddiy nuqta, masalan, quyoshning markaziy tortishish maydonidagi sayyoralar kabi kuchlar markaziga tortilsa, b<0 bo'ladi va nuqtatrayektoriya formulasini
(24)
ko'rinishda yozish mumkin, bu yerda
. (25)
Moddiy nuqtaning trayektoriyasi ikkinchi tartibli egri chiziqni ifodalaydi, bunda P- egri chiziqning fokal parametri, e - ekstsentrisiteti. Moddiy nuqta trayektoriyasining mumkin bo'lgan quyidagi turlari bo'lishi mumkin:
a) W<0 bo'lganda elliptik orbita (e<1);
b) W=0 bo'lganda parabolik orbita (e=1);
v) W>0 bo'lganda giperbolik orbita (e>1);
g) L=0 bo'lganda kuchlar markazidan o'tuvchi to’g’ri chiziqli trayektoriya (P=0, e=1).
Birinchi uch holda kuch markazi orbita fokuslaridan biri bilan mos tushadi. quyoshning tortishish maydonida harakatlanuvchi sayyoralar uchun W<0. shuning uchun ularga Keplerning birinchi qonunio'rinli:
Quyosh sistemasidagi barcha sayyoralar bir fokusida quyosh joylashgan elliptik orbitalar bo'yicha harakatlanadi.
Keplerning ikkinchi qonuniga muvofiq harbir sayyoraning sektorial tezligi o'zgarmas. Demak, sayyoraning orbitada aylanish davri, orbitasi bilan chegaralangan yuzani, uning sektorial tezligi nisbatiga teng: T=S/s . Ellipsning yuzasi S= pab, bu yerda a va b - uning katta va kichik yarim o’qlari. Bunda

ekanini, hamda (20) munosabatdan foydalanib,

natijani olamiz.
(25) formulaga ko'ra, , bu yerda |b|=GmM, M - Quyosh massasi bo'lgani uchun
(26)
formula kelib chiqadi.
(26) tenglama Keplerning uchinchi qonunini ifodalaydi: