Mexanikaning fizikaviy asoslari

7 – Mavzu: Mexanik ish. Quvvat. Energiya
Biz o‘zimizni o‘rab olgan sharoitda bir-biriga qandaydir kuchlar bilan ta’sir qilayotgan jismlarga duch kelamiz. Masalan, yurib ketayotgan aravachaga ishqalanish kuchi, yuqoriga ko‘tarilayotgan yukka og‘irlik kuchi, cho‘zilayotgan prujinaga elastiklik kuchi ta’sir etadi. Binobarin, kuch qo‘yib biz aravachani yurgizamiz, yukni ko‘taramiz, prujinani cho‘zib uchlarini siljitamiz. Bu misollardan ko‘rinadiki, jismlarning ko‘chishi kuchlarning ta’siri ostidagina sodir bo‘ladi. Bunday tabiiy ravishda kuchlarning jismlar ko‘chishi bilan bog‘liq bo‘lgan ta’sirini harakterlash zaruriyati kelib chiqadi. Mexanikada bunday harakteristika sifatida ish deb ataladigan fizik kattalik qabul qilingan.
Qo‘yilgan kuch ta’sirida jismning ko‘chishi natijasida mexanik ish bajariladi.
Turli hollarda kuchning bajargan ishi turlicha bo‘ladi. Tabiiyki, kuch qancha kata bo‘lsa vash u kuch qo‘yilgan nuqta qancha uzoq masofaga ko‘chsa, ish ham shuncha ko‘p bo‘ladi.
Bajarilgan ishning miqdori kuchning shu kuch yo‘nalishida bosib o‘tilgan yo‘lga ko‘paytmasi bilan o‘lchanadi.
Kuchning bosib o‘tilgan yo‘l davomidagi ta’siri mexanik ish deb ataluvchi fizik kattalik bilan harakterlanadi. Mexanik ish bajarilishi uchun birinchidan, jismga ta’sir qilish, ikkinchidan jism siljishi shart.
Mexanik ish bajarilishi protsessida materiya harakatining bir ko‘rinishi ikkinchi ko‘rinishga o‘tishi kuzatiladi. Masalan, trolleybus ish bajarishi protsessida materiya harakatining elektr ko‘rinishi mexanik ko‘rinishga aylanadi. Avtomobil dvigateli, bug‘ turbinalari va issiqlik mashinalarining ishlash protsessida esa materiya harakatining issiqlik shakli mexanik shaklga aylanadi.
Mexanik ishni quyidagicha ta’riflash mumkin:
Mexanik ish deb, texnika va tabiat hodisalarida mexanik harakatni materiya harakatining boshqa ko‘rinishiga o‘tishini yoki uzatilishini miqdor jihatdan harakterlovchi fizik kattalikka aytiladi.
Mexanik ish skalyar kattalik bo‘lib, kuch bilan kuch ta’siri yo‘nalishida jism bosib o‘tgan yo‘lning ko‘paytmasiga teng, ya’ni
, (1)
bunda - bajarilgan ish; - jismga ta’sir qiluvchi o‘zgarmas kuch;
- bosib o‘tilgan yo‘l.
Agar ta’sir qiluvchi kuch ko‘chish yo‘nalishi bilan burchak tashkil qilsa (1-rasm), bu kuchni ikkita tashkil etuvchiga ajratish mumkin: bulardan biri ko‘chish bo‘yicha yo‘nalgan va ikkinchisi ko‘chishga normal ravishda yo‘nalgan kuchlardan iborat bo‘ladi.



1-rasm.

U vaqtda, ishning ta’rifiga binoan, kuchning faqat tashkil etuvchisi ish bajaradi, ya’ni

. (2)
1-rasmdan bo‘ladi va uni (2) formulaga qo‘yilsa, yo‘l va kuchning yo‘nalishi mos kelmagan holdagi ishni hisoblash formulasi kelib chiqadi:
. (3)
O‘zgarmas kuchning bajargan ishi kuchni jism bosib o‘tgan yo‘liga va kuch bilan harakat yo‘nalishi orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng.
(3) formuladagi burchakning har xil qiymatlariga mos kelgan xususiy hollarda bajarilgan ishlarni qarab chiqaylik:
a) Agar bo‘lsa, bo‘lib, o‘zgarmas kuchning bajargan ishi maksimal va kuchning yo‘lga ko‘paytmasiga teng bo‘ladi, ;
b) Agar bo‘lsa, bo‘lib, o‘zgarmas kuchning bajargan ishi musbat bo‘ladi. Bu holda jismni harakatlantiruvchi kuch ish bajaradi; (1-rasm)
v) Agar bo‘lsa, bo‘lib, o‘zgarmas kuchning bajargan ishi nol bo‘ladi;
g) Agar bo‘lsa, bo‘lib, kuch siljishga qarama-qarshi yo‘nalgan va kuchning bajargan ishi manfiy bo‘ladi (2-rasm).



2-rasm.

O‘zgarmas kuch ta’sirida bajarilgan ishni grafik tasviri 3-rasmda ko‘rsatilgan.

3-rasm.
Umumiy holda, ya’ni jism egri chiziqli trayektoriya bo‘ylab o‘zgaruvchan kuch ta’sirida harakatlanib, chekli uzunlikdagi yo‘lni bosib o‘tganda bu yo‘lni xayolan cheksiz kichik elementlarga bo‘lib chiqib, ularning har birida kuchni o‘zgarmas deb (4-rasm), elementar ishni quyidagi formula bo‘yicha hisoblab topish mumkin:
. (4)



4-rasm.

To‘la ish hamma elementar ishlarning yig‘indisiga teng, ya’ni

. (5)
Agar elementar ishlarni qo‘shib, ularning sonini esa cheksizlikka intiltirib limitga o‘tilsa, u holda summa aniq integralga o‘tadi va to‘la ish quyidagiga teng bo‘ladi
yoki . (6)
O‘zgaruvchan kuch ta’sirida bajarilgan ishning grafik tasviri quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:



5-rasm.

Agar o‘zgaruvchan kuch egri chiziq bilan ifodalansa, yo‘lning - kesmasida bajarilgan elementar ish grafikda shtrixlangan yuzadan iborat bo‘ladi, butun yo‘l davomidagi to‘la ish – shakl maydoni bilan ifodalanadi (5-rasm).

1. 
   formuladan foydalanib, ishning o‘lchov birliklarini aniqlaymiz.
   

SI sistemasida ish joullarda o‘lchanadi, ya’ni
; . (7)
Amalda ishning MJ (megajoul), kJ (kilojoul), mJ (millijoul), mkJ (mikrojoul) va shu kabi birliklari ham ishlatiladi. Bu birliklar bilan joul orasida quyidagicha bog‘lanish mavjud:
(8)
Turmushda bizga ma’lumki, bir xil mexanik ishni turli mashinalar turlicha vaqtda bajaradi.
Amalda, ko‘pincha, kuchlar bajargan ishni bilishgina emas, balki shu ishni bajarish uchun sarflangan vaqtni ham hisobga olish juda muhimdir.
Mashina, dvigatel va turli xil mexanizmlar ish bajara olish qobiliyatini taqqoslash uchun quvvat deb ataladigan fizik kattalik kiritiladi. Ravshanki, bir xil ishni bajaruvchi mashinalardan qaysi biri shu ishni qisqaroq vaqt ichida bajarsa, shunisi quvvatliroq bo‘ladi. Mexanizmning quvvati uning vaqt birligi ichida bajargan ishi bilan harakterlanadi.
Vaqt birligi ichida bajarilgan ishga son jihatdan teng bo‘lgan kattalik quvvat deb ataladi.
Quvvatni N bilan belgilab, ta’rifga muvofiq
(9)
deb yoza olamiz.
Bu yerda - ishni bajarish uchun sarflangan vaqt.
Agar bir xil vaqt oraliqlari ichida bajarilgan ishlar bir xil bo‘lmasa, u holda quvvat vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchan bo‘ladi. Bunday hollarda o‘rtacha quvvat, shuningdek, oniy quvvat tushunchasi kiritiladi.
vaqt davomida bajarilgan ish ga teng bo‘lsa, o‘rtacha quvvat quyidagicha bo‘ladi:
. (10)
Oniy quvvat esa quyidagi ifodadan aniqlanadi:
. (11)
Agar jism qo‘yilgan kuch ta’sirida to‘g‘ri chiziqli tekis harakat qilsa, u holda quvvatni ta’sir etuvchi kuch va tekis harakat tezligi orqali ifodalash mumkin. Buning uchun (1) formuladan ishning ifodasini (9) formulaga keltirib qo‘yaylik, u holda
, (12)
bo‘ladi, bu yerda - tekis harakat tezligi.
Tekis o‘zgaruvchan harakatda o‘rtacha quvvatni o‘rtacha tezlik orqali aniqlash mumkin, ya’ni
. (13)
(12) formula dvigatelning quvvati o‘zgarmagan holda tezlikni o‘zgartirish bilan avtomobil, avtobus, poyezd, ko‘targich kran va shu kabi mashina va mexanizmlarning tortish kuchini o‘zgartirish mumkinligini ko‘rsatadi.
(9) formuladan ko‘rinadiki, mexanizmning vaqt ichida bajargan ishini quyidagi formulaga muvofiq aniqlash mumkin, ya’ni
. (14)
Quvvatning birligini aniqlaymiz.
SI birliklar sistemasida quvvat vatt (Vt) deb ataladigan birlikda o‘lchanadi. Demak,
. (15)
Vatt – quvvatning uncha kata bo‘lmagan birligidir, shuning uchun amalda quvvatning qo‘shimcha birliklari: gektovatt (gVt), kilovatt (kVt), megavatt (MVt) dan foydalaniladi:
(16)
(14) formuladan foydalanib, hozirgi vaqtda amalda ko‘p ishlatiladigan vatt-soat (Vt-soat), gektovatt-soat (gVt-soat), kilovatt-soat (kVt-soat) kabi ish birliklari orasidagi munosabatni aniqlaylik.
Vatt-soat ish deb quvvati o‘zgarmas bir vatt bo‘lgan mexanizmning bir soatda bajargan ishiga aytiladi:
(17)
Biror ish bajara olish qobiliyatiga ega bo‘lgan har qanday jism yoki jismlar sistemasi energiyaga ega bo‘ladi. Masalan, dumalayotgan shar biror jism bilan to‘qnashib, uni siljitadi, ya’ni ish bajaradi. Demak, dumalayotgan sharning energiyasi bor. Yerdan biror balandlikda turgan jism ham energiyaga ega, chunki jismni balandlikda ushlab turuvchi bog‘lanish yo‘qotilsa, bu jism tusha boshlaydi va ish bajaradi.
Bu misollardan ko‘rinadiki, jismlar ish bajarayotganida ularning holati o‘zgaradi: dumalayotgan sharni tezligi kamayadi va bora-bora to‘xtaydi, ko‘tarilgan jism tinch turgan holatidan harakatga kelib, Yer sirtiga yaqinlasha boradi.
Energiya jismning yoki jismlar sistemasining holatini, uning bir holatdan boshqa holatga o‘tishida ish bajarish qobiliyatini harakterlaydi.
Jismlarning mexanik holatiga bog‘liq bo‘lgan energiya mexanik energiya deyiladi.
Tashqi kuchlar berilgan jismlar sistemasi ustida ish bajarsa yoki jismlar sistemasining o‘zi tashqi kuchlarga qarshi ish bajarsa, sistemaning holati, binobarin, energiyasi o‘zgaradi. Energiyaning o‘zgarishi sistemaning ma’lum sharoitda bajarishi mumkin bo‘lgan ishi bilan o‘lchanadi, ya’ni energiya o‘zgarishining o‘lchovi ish hisoblanadi. Shuning uchun ish qanday birliklarda o‘lchansa, energiya ham shunday birliklarda o‘lchanadi. Agar sistemaning boshlang‘ich holati deb olish mumkin bo‘lgan qandaydir biror holatidagi energiyasini bilan, sistemaning keyingi oxirgi holatidagi energiyasini bilan va sistemaning shu boshlang‘ich holatidan oxirgi holatga o‘tganda bajargan ishini bilan belgilasak, u holda
(18)
deb yoza olamiz. Agar bo‘lsa, u holda sistemaning energiya zapasi hisobiga sistemaning o‘zi tashqi kuchlarga qarshi ish bajaradi, uning energiyasi kamayadi. Agar bo‘lsa, u holda tashqi kuchlar sistema ustida ish bajaradi, natijada bu bajarilgan ish hisobiga sistemaning energiyasi ortadi.
Mexanik energiya ikki turga – potensial va kinetik energiyalarga bo‘linadi.
Jismlarning o‘zaro joylashishiga yoki ayni bir jism qismlarining o‘zaro joylashishiga bog‘liq bo‘lgan ta’sir energiyasi potensial energiya deb ataladi.
Masalan, Yerga nisbatan yuqoriga ko‘tarilgan jismning, gidrostansiya to‘g‘onidagi suvning, deformatsiyalangan prujinaning, ko‘tarilgan bolg‘aning, qisilgan gazning energiyalari potensial energiyaga misol bo‘la oladi. Jismlar orasida ularning bir-birlariga nisbatan vaziyatlari orqali bir qiymatli aniqlanadigan o‘zaro ta’sir etuvchi kuchlar ta’sir etgan vaqtdagina jismlar potensial energiyaga ega bo‘la oladi. Boshqacha qilib aytganda, o‘zaro ta’sir etuvchi jismlar yoki jism qismlari bo‘lgandagina potensial energiya haqida gapirish mumkin. Jism yoki jism qismlari orasidagi o‘zaro ta’sir qancha kuchli bo‘lsa, potensial energiya ham shuncha katta bo‘ladi.
Jismlarning harakat qilishi tufayli ega bo‘ladigan energiyasi kinetik energiya deb ataladi.
Masalan, ishqalanish kuchini yengib harakatlanayotgan avtomobilning energiyasi, elektr stansiyalar turbinalarini aylantiradigan suv energiyasi, shamol tegirmonlarini yoki shamol elektr stansiyalarini ishga tushiruvchi shamol energiyasi, tushayotgan bolg‘a energiyasi kinetik energiyaga misol bo‘la oladi.
Hamma hollarda, energiya kattaligi haqida bajarilgan ish kattaligiga qarab fikr yuritiladi. Bolg‘a qancha vaznli bo‘lsa va qancha katta tezlik bilan mixga urilsa, mixni taxtaga shuncha ko‘proq kiritishi mumkin va bunda shuncha ko‘p ish bajariladi. Binobarin, jism qancha massiv bo‘lsa va qancha tez harakatlansa, kinetik energiya kattaligi shuncha ko‘p bo‘ladi.
Jismning kinetik va potensial energiyalarining yig‘indisi jismning to‘la mexanik energiyasi deb ataladi.
O‘zgarmas kuch ta’sirida massali jism masofada to‘g‘ri chiziqli harakat qilib, vaqt ichida o‘zining tezligini dan gacha o‘zgartirsin. U holda jismning ishqalanish kuchiga qarshi bajargan ishi quyidagiga teng bo‘ladi:
. (19)
Jismning harakati tekis sekinlanuvchan bo‘lgani uchun tezlanish va o‘tilgan masofaning tezliklar bilan o‘zaro bog‘lanishi quyidagicha bo‘ladi:
va . (20)
Tezlanish va yo‘lning bu ifodalarini ish formulasiga qo‘yib, soda almashtirishlardan so‘ng, quyidagi formulani hosil qilamiz, ya’ni
. (21)
(18) va (21) formulalarni taqqoslasak, u holda
. (22)
Agar , u paytda
. (23)
(23) formula jismning kinetik energiyasini ifodalaydi va bu formuladan ko‘rinadiki, jismning kinetik energiyasi jismning massasi bilan tezligi kvadrati ko‘paytmasining yarmiga teng.
(21) formula jismga qo‘yilgan kuchning bajargan ishi bilan jismning kinetik energiyasi o‘zgarishi orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi.
Agar ko‘rilayotgan yo‘l oxirida jism tezligi bo‘lsa, u holda jismning bajargan ishi uning kinetik energiyasining kamayishiga teng bo‘ladi. Bunda tashqi kuchga qarshi ish bajaradi. Agar bo‘lsa, u holda bajarilgan ishning hisobiga jismning kinetik energiyasi ortadi. Bunda tashqi kuchlar jism ustida ish bajaradi.
Shunday qilib, jismga qo‘yilgan kuchning bajargan ishi jism kinetik energiyasining o‘zgarishiga teng bo‘ladi.
Yerga nisbatan ko‘tarilgan jismning potensial energiyasi bo‘ladi, chunki jismning energiyasi jism bilan Yerning o‘zaro holatiga va o‘zaro ta’siriga bog‘liqdir.
Odatda Yer sirtida yotgan jismning potensial energiyasini nolga teng deb olinadi. Bu holda biror balandlikka ko‘tarilgan jismning potensial energiyasi bu jismning Yerga tushishida og‘irlik kuchining bajargan ishi bilan o‘lchanadi.
Jism vertikal bo‘ylab pastga harakatlanganda og‘irlik kuchining yo‘nalishi ko‘chish yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Yer sirtidan balandlikdagi nuqtadan Yer sathidan hisoblangan balandlikdagi nuqtada o‘tishda jismning ko‘chishi teng (6-rasm). Bunda og‘irlik kuchining bajargan ishi quyidagi ifodadan aniqlanadi, ya’ni
. (24)



6-rasm.

(24) formulani (18) formula bilan taqqoslasak, ya’ni

, , (25)
u paytda
. (26)
(26) formula Yer sirtidan balandlikka ko‘tarilgan, ya’ni og‘irlik kuchi maydonidagi jismning potensial energiyasini ifodalaydi. Demak, biror balandlikka ko‘tarilgan jismning potensial energiyasi jism og‘irligining shu balandlikka ko‘paytmasiga teng ekan.
(24) formula og‘irlik kuchining bajargan ishi bilan jism potensial energiyasining o‘zgarishi orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi.
Agar bo‘lsa, u holda va bo‘ladi, binobarin, og‘irlik kuchi jismning potensial energiyasi kamayishi hisobiga ish bajaradi. Agar bo‘lsa, u holda va bo‘ladi. Bunda og‘irlik kuchiga qarshi bajarilgan ish hisobiga potensial energiyasi ortadi.
Shunday qilib, og‘irlik kuchining bajargan ishi jism potensial energiyasining kamayishiga teng bo‘ladi.
(24) formuladan ko‘rinadiki, gravitatsion maydonda bajarilgan ishning kattaligi bosib o‘tilgan yo‘lning shakliga bog‘liq bo‘lmay, faqat yo‘lning oxirgi nuqtasi boshlang‘ich nuqtasiga nisbatan qanday balandlikda joylashganligiga bog‘liq bo‘ladi. Bajargan ishi yo‘l shakliga bog‘liq bo‘lmaydigan kuchlar potensial yoki konservativ kuchlar, bu kuchlar maydoni esa potensial maydon deyiladi. Binobarin, og‘irlik kuchi potensial yoki konservativ kuch, uning maydoni esa potensial maydon bo‘ladi.
Ma’lumki, har bir mashina yoki mexanizm ma’lum ishni bajaradi. Mashinalarning foydali qarshiliklarni, masalan, tokarlik stanogida detalarga ishlov berishda metallning qarshiligini, og‘ir yukni kran bilan ko‘tarishda og‘irlik kuchini, avtomobil harakatlanganda uning g‘ildiraklari va yo‘l orasida yuzaga keladigan ishqalanish kuchini va hakozo qarshiliklarni yengib bajaradigan ishi foydali ish hisoblanadi. Ammo mashina bu foydali ishni bajarishda bu ishdan tashqari zararli qarshiliklarga qarshi foydasiz, lekin bajarilishi shart bo‘lgan ishlarni ham bajaradi. Masalan, mashinalarning harakatlanuvchi qismlari orasidagi ishqalanish kuchiga, havoning qarshilik kuchiga qarshi bajarilgan ish foydasiz. Shuning uchun mashina yordamida bajarilgan to‘liq ish (u sarflangan umumiy ish deb ham ataladi) foydali ishdan hamma vaqt foydasiz ish miqdoricha ortiq bo‘ladi. Mexanizm ishlaganda foydasiz ishlardan butunlay xoli bo‘lish mumkin emas, ammo uni anchagina kamaytirish mumkin. Sarflangan ishning qancha ko‘p qismini foydali ish tashkil qilsa, mashina shuncha tejamli bo‘ladi. Mashinaning tejamliligi foydali ish koeffitsiyenti (qisqacha FIK) deb ataladigan kattalik bilan harakterlanadi.
Mashinaning foydali ish koeffitsiyenti deb, umumiy ishning qancha qismi foydali ishga aylanganligini ifodalovchi kattalikka aytiladi.
FIK harfi bilan belgilanadi. Demak, ta’rifga muvofiq, mashinani foydali ish koeffitsiyenti quyidagicha bo‘ladi:
. (27)
FIK har doim birdan kichik bo‘ladi, ya’ni . FIK birga qancha yaqin bo‘lsa, mashina shuncha tejamli bo‘ladi.
FIK ko‘pincha foiz hisobida ifodalanadi. U vaqtda (27) formula quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
. (28)
Foydali va umumiy ishlar bir vaqtda bajarilgani uchun (28) formulaga va larning (27) formula orqali ifodalangan qiymatlarini keltirib qo‘yib, FIK ning foydali va sarflangan umumiy quvvatlar orqali hisoblash formulasini hosil qilamiz:
. (29)