Microscopic and Mesoscopic Traffic Models

v
0
, i.e.
ρ(x, v, v
0
, t), being
˜ρ(x, v, t) =

ρ(x, v, v
0
, t)dv
0
(5.32)
Moreover, the interaction term is expressed as

∂ ˜ρ(x, v, t)
∂t

int
= −ρ(x, v, v
0
, t)

v
0
(1 − π)(v − ω) ˜ρ(x, ω, t)dω
+ ˜ρ(x, v, t)

+∞
v
(1 − π)(ω − v)ρ(x, ω, v
0
, t)dω (5.33)
The overall Paveri–Fontana model can then be written in the following form:
∂ ˜ρ(x, v, t)
∂t
+ v
∂ ˜ρ(x, v, t)
∂x
+
∂
∂v

˜ρ(x, v, t)
v
0
− v
τ
0

= −ρ(x, v, v
0
, t)

v
0
(1 − π)(v − ω) ˜ρ(x, ω, t)dω
+ ˜ρ(x, v, t)

+∞
v
(1 − π)(ω − v)ρ(x, ω, v
0
, t)dω
(5.34)
The complete Paveri–Fontana equation has not been solved in an analytical way,
but it is numerically solved in some special cases. However, it is used as the starting
point to construct macroscopic and mesoscopic models based on the gas-kinetic
theory.
Another issue which is raised with reference to the basic gas-kinetic models is
that the assumption that there are some drivers desiring to drive at any speed, no

---

5.3 Mesoscopic Traffic Models
137
matter how small, seems somewhat unrealistic. The work in [
104
] addresses the case
in which this assumption does not hold, by showing that at high densities it happens
that a two-parameter family of solutions exist and, thus, continuously distributed
mean speeds can be identified for each density value. This result also gives reason to
the well-known scattering of observed data related to the relationship between speed
and density for high density values.
An extension of the Paveri–Fontana model was proposed in [
105
], in which a
multi-lane case is considered. Lane changing is explicitly modelled in the following
way: indicating with j the lane index, a multi-lane phase-space density
ρ
j
(x, v, v
0
, t)
is defined and the following expression holds:
∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂t
+ v
∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂x
=

∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂t

acc
+

∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂t

int
+

∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂t

vc
+

∂ρ
j
(x, v, v
0
, t)
∂t

lc
+ v
+
j
(x, v, v
0
, t) − v
−
j
(x, v, v
0
, t)
(5.35)
where v
+
j
(x, v, v
0
, t) and v
−
j
(x, v, v
0
, t) are the rates of vehicles entering and leaving
the road at place x, respectively. These rates are different from zero only for merging
lanes at entrances and exits. As for the acceleration term in (
5.35
), it is assumed that
vehicles are split into a set of vehicles that can move freely and a set of impeded
vehicles that have to move slower than desired, since they are queued behind other
vehicles. As in [
103
], a proportion of freely moving vehicles is, then, defined and
the acceleration term is only related to the acceleration of these vehicles.
Moreover, the interaction term in (
5.35
) is similar to the one used in Paveri–
Fontana model, whereas four terms have been added to that previous model. The
first of these terms is a speed diffusion term expressed as