Microsoft Word sonlar ketma ketligi va uning limiti


Download 162.49 Kb.
bet4/4
Sana09.01.2022
Hajmi162.49 Kb.
#263693
1   2   3   4
Bog'liq
sonlar ketma ketligi va uning limiti

lim x  


n  
n

yoki

xn kabi

Agar har qanday M > 0 son berilganda ham shunday n0N son topilsaki, barcha n > n0 uchun xn > M(xn < – M ) tengsizlik o’rinli bo’lsa, {xn} ketma – ketlikning limiti +  (–  ) deb qaraladi.

T a’ r i f. Agar {xn } ketma ketlikning limiti cheksiz
u holda {xn } cheksiz katta miqdor deyiladi.

lim x



n  
n


, bo’lsa,

Masalan, xn=2n ketma ketlik cheksiz katta miqdor bo’ladi,

chunki

lim 2 n  



n  


T a’ r i f. Agar {xn} ketma – ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa,

lim x
n


n  

0 , u holda {xn} cheksiz kichik miqdor deyiladi.

Masalan,


x n

1

n  1


ketma – ketlik cheksiz kichik miqdor bo’ladi,

chunki


lim


1 0 .

n  

n  1

T e o r e m a. {xn} ketma ketlikning a limitga ega bo’lishi uchun n xn a

cheksiz kichik miqdor bo’lishi zarur va etarli. Demak, {xn} ketma
ketlikning limiti a bo’lsa, uning umumiy hadi xn ni

xn a  n

ko’rinishda yozish mumkin, bunda n
cheksiz


kichik miqdor va aksincha

T a’ r i f. Agar {xn} ketma ketlikning limiti chekli son bo’lsa, uni yaqinlashuvchi ketma ketlik, agar ketma ketlikning limiti cheksiz yoki ketma ketlik limitga ega bo’lmasa, uni uzoqlashuvchi ketma – ketlik deyiladi.


x  n
n






x n

 1 1






M i s o l. n
  1

1


ketma – ketlikda: n

n 1

n 1 .

Ravshanki,


n n 1

cheksiz kichik miqdor. Demak, berilgan ketma –


ketlikning limiti 1 ga teng:


lim

n 1 .

n   n 1

1–Lemma. Ikki cheksiz kichik miqdor yig’indisi yana cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
2–Lemma. Chegaralangan ketma – ketlik bilan cheksiz kichik miqdor ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.

Endi cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni keltiramiz:



10. Agar x

x 0,

n1,2,...
cheksiz kichik miqdor bo’lsa,

1

n n  

x n

cheksiz katta miqdor bo’ladi.


20. Agar x

cheksiz katta miqdor bo’lsa,

1
cheksiz kichik miqdor

n
bo’ladi.

 


n
x


Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar va ularning хossalari.

Ketma – ketlik limitining mavjudligi (ya’ni yaqinlashuvchi) haqidagi masala muhim masalalardan biridir. Bu masalani hal qilib beruvchi teoremalar mavjud. Biroq ular matematik tahlilning nozik faktlariga asoslanib isbotlanadi.




1teorema. Agar xn
ketma – ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan

chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.




2teorema. Agar xn
ketma – ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan

chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.



T a’ r i f. Agar 0 son olganda ham shunday n0ЄN topilsaki, barcha n

> n0, barcha m > n0 uchun

xn xm  

tengsizlik bajarilsa, x n




fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Har qanday yaqinlashuvchi ketma – ketlik fundamental ketma – ketlik bo’ladi.



3teorema. (Koshi teoremasi). Agar xn ketma – ketlik fundamental ketma

– ketlik bo’lsa, u yaqinlashuvchi bo’ladi.

Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar qator хossalarga ega. Bu хossalarni isbotsiz keltiramiz.


10. Agar xn

bo’ladi.


ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, uning limiti yagona

20. Agar xn ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, chegaralangan bo’ladi.

30. Agar xn

vayn
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

xn

yn
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim x
n


n  

yn  

lim x

n  
n

 lim y



n  
n

bo’ladi.

40. Agar xn

vayn
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

xn yn
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim x
n


n  

yn  

lim x

n  
n

 lim y



n  
n

bo’ladi.



N a t i j a. Agar xn ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, c xn ketma


– ketlik ham yaqinlashuvchi va bo’ladi, bu yerda c – o’zgarmas son.

lim


n  

c xn

c  lim x



n  
n


50. Agar xn

vayn
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib,

yn  0

n  1,2,3,... va

lim y  0


n  
n

bo’lsa, u holda

x n

 

y n



xn lim xn





ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim


n

bo’ladi.


n   yn

lim y



n  
n


60. Agar xn

vayn

ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, nN da



xn yn

xn yn
bo’lsa, u holda


lim xn

 lim yn lim xn

 lim yn
bo’ladi.


n

n n

n

70. Agar xn

vazn
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi va

lim x

n

 lim za



n
n

n

bo’lib nN da

xn yn

zn


bo’lsa, u


holda yn

bo’ladi.
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim ya

n 
n


80. Agar xn ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lib,

lim x



n 

a bo’lsa,

u holda miqdor.



xn

a  n

bo’ladi va aksincha, bunda n


cheksiz kichik
n



Sonlar ketma-ketliklari limitini hisoblash.
Sonlar ketma – ketligi mavzusining asosiy masalalaridan biri uning limitini topishdan iborat. Ketma – ketliklarning limitlarini topishda ta’rifdan va ketma – ketlik limitining хossalaridan foydalaniladi.

  1. m i s o l. Ketma – ketlik limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.
    3





  1. lim xn

1 , agar
x n

2 n  1

2 n  1
; b)
lim xn

5 , agar


3 n 2  1

x n

5 n 2  1

bo’lsa va qaysi n nomerdan boshlab

x n

 0,01


tengsizlik bajarilishi ko’rsatilsin.





Y e c h i s h. a) Har qanday 0

uchun shunday



N ( )

son topiladiki,




n N ( ) da

xn 1  

tengsizlik bajariladi. Buning uchun absalyut qiymat



ayirmasini topamiz:



2n 1 1

2n 1



2 2n 1

2 2n 1

Demak,



xn 1  
tengsizlik bajariladi, agar

2  

2n  1
, bundan

n 1 1

 2


. Shuning uchun

N ( )
sifatida

1 1

 2
sonning butun qismi, ya’ni


N   1 1






ni olamiz.

 




2


Shunday qilib, har qanday

  0

uchun N son topiladiki, n>N bo’lganda


x 1  
bajariladi, bu esa
lim

2n 1

 1 .



n



  1. Endi

3


xn
8

n 2n  1
absalyut miqdor farqini topamiz:

5 5(5n 2

 1) .




  0

berilgan n ni shunday tanlaymizki



8  

5(5n 2  1)

tengsizlik



bajarilsin. Bu tengsizlikni yechib:



n2 8

1  n 1 .



25 5 5



N  



deb,



n N da




xn  3,5

  .


 

Agar

  0,01

bo’lsa,

N  

 

5 , bundan


 

3  0,01; 3  0,01




ketma – ketlikning 6-hadidan boshlab barcha hadlari


5
5

intervalda yotadi.
1

  1. m i s o l. Ushbu 0,1; 0,11; 0,111; … ketma – ketlikning limiti 9 ga teng.


I s b o t. Buning uchun

1  0,1  1 1 ; 1  0,11  1 < 1 ,

9 9 10 10 9

9 100

100

1  0 ,11

... 1 

1 1

ekanligini e’tiborga olib,



1 a


9

n ta raqam
9  10

n 10 n 9 n

ayirma 0,11… davriy kasrda o’nli kasr хonalarini yetarli darajada ko’proq olish

bilan iхtiyoriy kichik 0 sondan ham kichik bo’lishi mumkin ekanligini ko’rish


1

oson. Demak, berilgan ketma – ketlik limiti 9

  1. m i s o l.

ga teng.

a) f (x)  x3
funksiya

x  0
da (ya’ni nol atrofida);


b) f (x)  (x  3)2

funksiya


x 3 nuqta atrofida;

c) f

( x )  sin( x a )
funksiya

x  2
nuqta atrofida va shuningdek 2-kП

nuqtalardan istalgan birining atrofida cheksiz kichik funksiyalardir.



2 n 3 1  5 n 2

  1. m i s ol.

lim

2 n 2  3 5 n  1

ni toping.


n  

Y e c h i s h. Agar yig’indining limiti хossasidan foydalansak, har bir qo’shiluvchi cheksiz katta miqdor bo’lib, chegaralanmagan. Shuning uchun ular limitga ega emas; kasrlarni qo’shsak:
2n3 13n2  3

xn 10n3  2n2 15n  3 . Bundan


lim x

 lim


2  13

n
10

3


n 3 1

n   n

n  
2 15 3 5

n n 2 n 3

I z o ҳ. Limitni hisoblashda kasrning surat va maхrajini n ning eng yuqori darajasi (n=3) ga bo’ldik.



lim


5n 2  3

 lim

5  3

n 2
5

2,5


  1. m i s o l.

n  

2 n 2

n  2



n 1 2 2

n n 2




2


Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar.


  1. Sonli ketma-ketlik limiti




lim an a

n  

ekanligi isbotlansin. ( N ( )

ko‘rsatilsin)






  1. a

2n 2 ; a 2

  1. a


5n 4 ; a 5

n 3n  1 3 n 3n  1 3

  1. an

2n 1 ; a 2 3n  2 3

n3  1 1


  1. an

5n 1 ; a  5

n  1

4n2  1


  1. an

2n3  1 ; a 2

  1. an

2n2 1 ; a  2

  1. an

n 1 2n  1

; a 1


2


  1. an

n 1 1  2n

; a 1


2

  1. a


3n 1 ; a 3
  1. a


5n 2 ; a 5

n 2n  1 2 n 3n  1 3



a 3n 4 ; a 3

n 2n  1 2



a3n 4 ; a  1

n 3n  1



an

6n ; a  6

n  1



a 7n ; a 1

n 14n  1 2



an

2n2  1


n2  3


; a  2



an

n  1 3n

; a 1


3


  1. Sonli ketma-ketlik limiti hisoblansin.
  1. lim


n

(n  2)3  (n 1)3

(n  3)3  (n  4)3

  1. lim

n
(4  n)2  (4  n)2

(4  n)2  (2  n)2
  1. lim

n
(1  n)2  (1  n)2

(2  n)2  (2  n)2
  1. lim

n
(1  n)4  (1  n)3

(2  n)4  (2  n)3
  1. lim

n

(2  n)3n3

(1 2n)2  4n2


  1. lim

n

(2  n)2  (2  n)3


(1 n)3
  1. lim

n

(n  3)3  (n  2)3

(n  2)4  (n  1)4

  1. lim


n

(n  2)2  (n  3)2

(n  2)3  (n  3)3

  1. lim

n
(n 1)3  (n 1)3

n4 1

(2n  3)2







lim

n
(n  1)3  (n  1)3

(n  1)4  (n  1)4


1  (n  1)3



lim

n

(n  2)3  (n  2)3





lim

n


(2  n)3









lim

n

(n  3)3  (n  2)3


(n  1)3  (n  1)3








lim

n

(n  3)3  (n  1)3


(n  3)2  (n  2)2



  1. Sonli ketma-ketlik limiti hisoblansin.




n  2 n
  1. lim n 1

n3n3
lim
1

2.

n3  1

n



n 1




n



n 1


 


3. lim n 4 4
 




n n 2

4. lim 10n  2

n 10n 8


   
n3

n 2

n2  5n  4 2n 1

5. lim 1
  1. lim




n n3 2 n n2 6n 5

   


8. 2


n 2 1 n

2n 2

  • 4n n

  1. lim n 3
lim

2n

 4n  1



n n


FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR


  1. Ё. У. Соатов Олий математика. I, II ва III жилдлар, Т.: Ўқитувчи, 1992, 1994 й.

  2. Т. Ш. Шодиев Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра, Т.: Ўқитувчи, 1984 й.

  3. Б.А. Абдалимов ва бошқалар. Олий математикадан масалалар ечиш бўйича қўлланма. Т.: Ўқитувчи, 1985, 1994 й.

  4. Н.С. Пискунов Дифференциал ва интеграл ҳисоб, I, II жилдлар Т.: Ўқитувчи, 1974 й.

  5. В. П. Минорский Олий математикадан масалалар тўплами. М.: Наука, 1987 й.

Download 162.49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling