Mirzo Ulug’bek nomidagi O’zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali “Tabiiy fanlar va iqtisodiyot” kafedrasi assistenti

Mirzo Ulug’bek nomidagi O’zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali

“Tabiiy fanlar va iqtisodiyot”

kafedrasi assistenti:

Mamaraximova Hulkar Nizomovna

7-Ma`ruza

Ikki vektorning vektor ko`paytmasi.

Vektorlarning aralash ko`paytmasi.

Ikki vektorning vektor ko`paytmasi

Vektor ko`paytma ta`rifini kiritishdan avval, biz uchta o`zaro nokomplanar vektor uchligining fazoda joylashishi bilan bog`liq bo`lgan zarur bir tushunchani kiritamiz. Shuni aytib o`tamizki, keyingi punktlarda yuritiladigan mulohazalar faqat uch o`lchovli fazoga doir bo`ladi.

2-ta`rif. Agar komplanar vektorlar

boshi umumiy nuqtaga keltirilgandan so`ng

vektorning oxiridan (uchidan) qaraganda

vektordan vektorga qarab dan kichik burchakka burish soat strelkasiga teskari bo`lsa, bu uchlik o`ng uchlik, aks holda chap uchlik deyiladi. Chap va o`ng uchlikni tashkil etadigan uchlik tartiblangan uchlik deb yuritiladi.

Biz o`ng uchlikdan foydalanamiz.

3-ta`rif. vа vektorlarning vektor ko`paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan vektorga aytiladi.

1) vektor vа vektorlarga perpendikulyar

(ortogonal);

2)

3) vektorlarning tartiblangan uchligi o`ng uchlikni tashkil etadi (3-chizmа).

3-chizmа

vа vektorlarning vektor ko`paytmasi

yoki ko`rinishida yoziladi.

Agar vа vektorlar kollinear bo`lmas, u

holda son vа vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuziga teng bo`ladi. Shunday qilib,

Agar vа vektorlar kollinear bo`lsa,

u holda chunki,

Vektor ko`paytma quyidagi qonunlarga bo`ysunadi

1) Vektor ko`paytmada ko`paytuvchilar o`rnini almashtirilsa, uning ishorasi o`zgaradi, ya`ni

2)

Vektor ko`paytma skalyar ko`paytuvchiga nisbatan gruppalash qonuniga bo`ysunadi, ya`ni

3) vа vektorlar yig`indisi bilan vektorning

vektor ko`paytmasi taqsimot qonuniga

bo`ysunadi, ya`ni

Endi vektor ko`paytmaning koordinata formada (koordinatalar orqali) yozilishini ko`rib o`tamiz. Avvalo koordinata o`qlarining

ortlar uchun quyidagi munosabatlar o`rinli bo`lishini eslatib o`tamiz:

(7.12)

Buni qisqacha quyidagi sxema orqali ham berish mumkin.

vа vektorlar Dekart koordinatalar sistemasida mos ravishda vа

koordinatalarga ega bo`lsin, ya`ni

vektor ko`paytma uchinchi tartibli determinant yordamida ushbu formula yordamida topiladi:

(7.13)

1. (ikki vektorning kolleniar bo`lish sharti).

vа vektorlar kolleniar bo`lishi uchun

bo`lishi zarur va yetarli.

2. (uchburchak yuzining formulasi). vа

vektorlarga uchburchak yasalgan bo`lsin, u holda bu uchburchakning yuzi:

(7.14)

• .

Vektorlarning aralsh ko`paytmasi

vektorlar tartiblangan uchligining aralash ko`paytmasi deb , vektor bilan

vektorning skalyar ko`paytmasiga teng songa aytiladi va yoki kabi belgilanadi.

Aralash ko`paytmaning miqdori nuqtai nazardan ma`nosini tekshiramiz.

vektorlar komplanar bo`lmagan vektorlar

bo`lsin deb belgilasak, vektor miqdori vа vektorlardan yasalgan parallelogram yuziga teng (4-chizma)

bo`lgani uchun skalyar ko`paytma

4-чизма.

x

y

z

h

ta`rifiga ko`ra

Ammo miqdorning moduli, ya`ni

sоn vektorlarga yasalgan parallelepipedning balandligini anglatadi.

Aralash ko`paytmaning absolyut qiymati shu

vektorlarga yasalgan parallelepiped

hajmiga teng, ya`ni

(7.15)

Aralash ko`paytmaning xossalari

1). Ko`paytmada ikki qo`shni vektorning o`rinlari almashtirilsa, aralash ko`paytmaning ishorasi qarama - qarshisiga almashadi, ya`ni quyidagi tengliklar o`rinli:

2). vektorlarning o`rinlari “doiraviy sikldа” almashtirilsa, aralash

ko`paytma o`z ishorasini o`zgartirmaydi, ya`ni ushbu tengliklar o`rinli:

3). Agar vektorlardan istalgan ikkitasi bir – biriga teng yoki parallel (kollinear) bo`lsa, ularning aralash ko`paytmasi nolga teng bo`ladi.

4). Аgar vektorlar o`zaro komplanar vektorlar bo`lsa, ularning aralash ko`paytmasi nolga teng.

Аралаш кўпайтмани векторларнинг координаталари орқали ифодалашга ўтамиз. Декарт координаталар системасига нисбатан

векторларнинг ёйилмаси берилган бўлсин:

Уч векторнинг аралаш кўпайтмаси учинчи тартибли детерминант орқали ифодаси ушбу кўринишда бўлади:

(7.16)

1-натижа. векторлар компланар бўлиши

учун

(7.17)

тенгликнинг бажарилиши зарур ва етарли.