Misal (4) Həlli

Bəzi dəyişən əmsallı xətti diferensial tənlikləri müəyyən əvəzləmə vasitəsi ilə sabit əmsallı diferensial tənliyə gətirmək olur. Belə tənliklərə misal olaraq ,

(*)

şəklində olan tənlikləri göstərmək olar, burada a  0, b, a₁,a₂,...,a_n verilmiş ədədlər, g(t) müəyyən intervalda verilmiş kəsilməz funksiya, y  y(t) isə axtarılan funksiyadır. Bu tənlik Eyler tənliyi adlanır. Bu tənliyi

(1)

əvəzləməsi vasitəsi ilə sabit əmsallı tənliyə gətirmək olar, burada  yeni sərbəst dəyişəndir. Əvəzləmədən aydındır ki,

münasibətləri doğrudur. Onda

=(=a²e^-2t

............................................................................................................

=

bərabərlikləri doğru olar.

1. 
   əvəzləməsini və törəmələrin ifadəsini (*) tənliyində nəzərə alsaq sabit əmsallı
   

(**)

tənliyini alarıq.

Beləliklə, (*) Eyler tənliyi (1) əvəzləməsi vasitəsi ilə (**) sabit əmsallı tənliyə gətirildi.

Misal 1.+3t tənliyinin ümumi həllini tapın.

H ə l l i. Verilmiş tənliyin ümumi həllini tapmaq üçün t= əvəzləməsi aparaq. Onda

sabit əmsallı tənliyini alarıq.

K²+2k+1=0

xarakteristik tənliyinin kökləri k₁  k₂ 1 olur. Ona görə də sabit əmsallı tənliyin ümumi həlli

y=

Əvəzləməni nəzərə alsaq, baxılan tənliyin ümumi həlli

Y=

olar, burada c₁,c₂ ixtiyari sabitlərdir.

Misal 2. (4)

Həlli: Burada -həqiqi ədədlərdir. Bu tənlik Eyler tənliyi adlanır.

Eyler tənliyini sabit əmsallı tənliyə gətirmək üçün, bu tənlikdə ( olduqda əvəzləməsini edək. Bu zaman alarıq:

burada-tam ədədlərdir.

Əgər törəmələrin bu ifadələrini (4) tənliyində nəzərə alsaq, k-nın hər bir qiymətində törəmələri -lərə vurulduğundan, üstlü ifadələrin hasili vahidə bərabər olacaq və nəticədə sabit əmsallı xətti tənlik alınacaq.

Misal 3. tənliyinə baxaq.

Həlli: Aydındır ki, bu tənlik Eyler tənliyidir. Əgər bu tənlikdə əvəzləməsini etsək, törəmələrin yuxarıda tapdığımız ifadələrini nəzərə almaqla, aşağıdakı sabit əmsallı xətti tənliyə gəlirik:



Bu tənliyə uyğun xarakteristik tənlik olduğundan, bu tənliyin kökləri və xətti asılı olmayan həllər və -dir. Ona görə baxılan tənliyin xətti asılı olmayan həlləri

və

bərabərlikləri ilə təyin olunur.