Misollar 1-misol

- Imzo: agar X ijobiy bo'lsa, unda E (X) ham ijobiy bo'ladi.
- doimiyning kutilayotgan qiymati: haqiqiy doimiyning kutilayotgan qiymati k doimiydir.
E (k) = k
- summadagi chiziqlilik: tasodifiy o'zgaruvchining kutilishi, bu o'z navbatida ikkita o'zgaruvchining yig'indisi X va Y kutishlarning yig'indisi.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- doimiyni ko'paytirish: agar tasodifiy o'zgaruvchi shaklga ega bo'lsa kX, qayerda k doimiy (haqiqiy son), u kutilgan qiymatdan tashqarida chiqadi.
E (kX) = k E (X)
- mahsulotning kutilayotgan qiymati va o'zgaruvchilar o'rtasidagi mustaqillik: agar tasodifiy o'zgaruvchi X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning hosilasi bo'lsa, mustaqil bo'lganlar, keyin mahsulotning kutilgan qiymati kutilgan qiymatlarning mahsulotidir.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- shaklning tasodifiy o'zgaruvchisi Y = aX + b: oldingi xususiyatlarni qo'llash orqali topilgan.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Umuman olganda, ha Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x)_men). P [g (x.)_men)]
- kutilayotgan qiymat bo'yicha buyurtma: agar X ≤ Y bo'lsa, unda:
E (X) ≤ E (Y)
Chunki ularning har birining kutilgan qiymatlari mavjud.
Gamblingda matematik kutish
Mashhur astronom Kristian Gyuygens (1629-1695) osmonni kuzata olmaganida, u o'zini boshqa fanlar qatorida tasodifiy o'yinlardagi ehtimollarni o'rganishga bag'ishladi. Matematik umid kontseptsiyasini u o'zining 1656 yilgi asarida:Qimor o'yinlari haqida mulohaza yuritish.
Gyuygens garovlarni kutilgan qiymatga qarab uchta usulda tasniflash mumkinligini aniqladi.
-O'yinlar ustunlik bilan: E (X)> 0
- Odil garovlar: E (X) = 0
-Muqobil bo'lmagan o'yin: E (X) <0
Muammo shundaki, imkoniyat o'yinida matematik kutishni har doim ham hisoblash oson bo'lmaydi. Qachon imkoningiz bo'lsa, natija ba'zan pul tikish kerakmi yoki yo'qmi deb hayron bo'lganlarni xafa qiladi.
Keling, oddiy pul tikishga harakat qilaylik: boshlar yoki quyruqlar va yutqazgan kishi $ 1 kofe to'laydi. Ushbu garovning kutilayotgan qiymati qancha?
Xullas, boshlarning o'ralishi ehtimoli quyruqlarga o'xshab $ phi $ ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchiga $ 1 yutish yoki $ 1 yo'qotish kerak, daromad + belgisi bilan, yo'qotish esa - belgisi bilan belgilanadi.
Biz ma'lumotni jadvalga joylashtiramiz:

Ustunlarning qiymatlarini ko'paytiramiz: 1. ½ = ½ va (-1). Ph = -½ va nihoyat natijalar qo'shiladi. Yigirma 0 va bu adolatli o'yin bo'lib, unda ishtirokchilar g'alaba qozonishlari ham, yutqazishlari ham kutilmoqda.
Frantsuz ruletkasi va lotereyasi - bu garikap o'yinlar bo'lib, unda garov tikuvchilarning aksariyati yutqazishadi. Keyinchalik echilgan mashqlar bo'limida biroz murakkabroq garov mavjud.
Misollar 
Matematik kutish kontseptsiyasi intuitiv bo'lgan va kontseptsiyani aniqlaydigan ba'zi oddiy misollar:
1-misol
Biz halol o'limni siljitish bilan boshlaymiz. Ishga tushirishning kutilayotgan qiymati qancha? Xo'sh, agar o'lim halol bo'lsa va 6 boshga ega bo'lsa, har qanday qiymat (X = 1, 2, 3… 6) ning aylanish ehtimoli 1/6 ga teng, shunga o'xshash:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

Bu holda kutilgan qiymat o'rtacha qiymatga teng, chunki har bir yuzning chiqish ehtimoli bir xil. Ammo E (X) mumkin bo'lgan qiymat emas, chunki hech bir bosh 3,5 ga teng emas. Bu ba'zi tarqatishlarda juda yaxshi mumkin, ammo bu holda natija pul tikuvchiga katta yordam bermaydi.

Ikkita tanga tashlash bilan yana bir misolni ko'rib chiqamiz.
2-misol
Ikkita halol tanga havoga tashlanadi va biz X tasodifiy o'zgaruvchini olingan boshlar soni sifatida aniqlaymiz. Voqealar sodir bo'lishi mumkin:
-Hech qanday bosh chiqmaydi: 0 bosh, bu 2 quyruqga teng.
- 1 ta bosh va 1 ta shtamp yoki quyruq chiqadi.
- Ikki yuz chiqadi.
C bosh va T muhr bo'lsin, ushbu hodisalarni tasvirlaydigan namuna maydoni quyidagicha:
Молодильный Спас
S_m = {Muhr-muhr; Shlangi yuz; Yuzni muhr; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}
Hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli quyidagilar:
P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. Ph = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. Ph = ¼
Jadval olingan qiymatlar bilan tuzilgan:

Boshida berilgan ta'rifga ko'ra, matematik kutish quyidagicha hisoblanadi:
m = E (X) = -x_men. P (x_men) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +…
Qiymatlarni almashtirish:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Ushbu natija quyidagicha talqin etiladi: agar odamda ikkita tangani aylantirish orqali ko'p sonli tajribalar o'tkazishga vaqt bo'lsa, ular har bir varaqda bosh olishlari kerak.