Misollar. №1

Misollar. 

№1: 

3

2

3

2 ,

1 ,

1

1

2

2

a

b

c





 









 





 



 





 









 











 





 vektorlar fazoda bazis tashkil qiladimi?  

Yechish:  

Ma’lumki,bu  vektorlar  uch o`lchovli fazoda bazis tashkil qilishi uchun, bu 

vektorlarning  chiziqli erkli bo`lishi yetarli. Shuning uchun  

1

2

3

0

a

b

c













 yoki 

1

2

3

3

2

3

2

1

1

0

1

2

2











 









 





 



 





 









 











 





 yoki 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

2

3

0

2

0

2

2

0







  















   



 







  

chiziqli birjinsli tenglamalar sistemasiga kelamiz.  

3

2

3

2

1

1

6

2 12 3 8

6

25

0

1

2

2

  

    

     



. 

Bundan, 

1

2

3

0

 









. Demak,  

, ,

a b c

 - vektorlar chiziqli erkli va uch o’lchovli 

fazoda bazis tashkil qiladi.   

№2.  





1

1,1,1,1,0

a



, 





2

1,1, 1, 1, 1

a



  

, 





3

2, 2,0,0, 1

a





,





4

1,1,5,5, 2

a



, 





5

1, 1, 1,0,0

a



 

vektorlardan tashkil topgan chiziqli qobiqning o`lchovi va 

bazisini toping. 

Решение: 

1

2

3

4

5

,

,

,

,

L

a a a a a



 

qism 

fazoning 

1

2

3

4

5

,

,

,

,

a a a a a  

vektorlar 

sistemasining  chiziqli  erklilari  maksimal  qiymati  bilan  ustma-ust  tushadi  va 

shuning  uchun  bu  vektorlarning  koordinatalaridan  tashkil  topgan  matrisa  rangiga 

teng.  Hosil  bo`lgan  matrisaning  satrlari  ustida  elementar  shakl  almashtirishlar 

bajaramiz.  U  holda  hosil  bo`lgan  matrisaning  yangi  satrlari  yana  yuqoridagi 

chiziqli qobiqning vektorlari bo`ladi: 

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

2

0

0

1

0

1

1

1

1

1

2

2

0

0

1

2

2

0

0

1

2

2

0

0

1

2

2

0

0

1

2

2

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

5

5

2

4

4

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1 0 0

1

1

1 0

0

1

1

1 0

0



 

 

 





 

 

 





 









 

 

 





 

 

 









 

 

 









 

 

 





 

 

 



 

 

 

 



 

 

 



  

Demak, chiziqli qobiqning o`lchovi 3 ga va oxirgi matrisaning barcha elementlari 

nollar 

bo`lmagan 

satrlaridan 

tashkil 

topgan 



 



2,0,0,1,0 , 2, 2,0,0, 1



, 





1, 1, 1,0,0

 

vektorlarni  bazis  sifatida  olish  mumkin.  Elementar  almashtirishlar 

yordamida   

1

2

5

,

,

a a a

  uchta  chiziqli  erkli  vektorlarga  ega  bo`ldik,  ya’ni  bu 

vektorlardan  tashkil  topgan  sistemani  berilgan  chiziqli  qobiqning  bazisi  sifatida 

qarash mumkin.  

№3.  Uch o`lchovli arifmetik fazodan olingan

 





1

1,1,1

a



, 





2

1, 1, 1

a

  

, 





3

2,1,1

a



  vektorlar bilan ortogonal bo`lgan vektorning  normallangan vektorni 

toping. 

Yechish:  Izlanayotgan  x   vektor  quyidagi   

1

x



, 

1

0

x a

 

, 

2

0,

x a





 

3

0

x a

 

 

tengliklarni qanoatlantiradi.  





1

2

3

,

,

x

x x x



  ni  koordinatalari  bilan  yozib  va 



 

 



1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

      vektorlar 

bazis  tashkil  qiladi,  ya’ni    bazis  vektorlari  ortonormallangan  va    skalyar 

ko`paytmalarini hisoblab quyidagiga ega bo`lamiz.  

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

2

2

1

2

3

0

0

2

0

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x









   













   



 ;     

Birinchi  uchta  tenglamani  Gauss  usulida  yechamiz  va  hosil  qilingan  yechimlarni 

oxirgi tenglamaga qo`yamiz. U holda 

1

2

3

0,

x

x

x



 

, va o`rniga qo`yib  

2

2

2

1

x



ni 

topamiz.  

Javob: 

1

1

0,

,

2

2

x

















,     

1

1

0,

,

2

2

x

















. 

№4. 





1

2,1,3, 1

a





, 





2

7, 4,3, 3

a





, 





3

1,1, 6,0

a





, 





4

5,7,7,8

a



chiziqli  qobiq 

vektorlarining ortonormallangan bazis vektorlarini toping.  

Yechish: Chiziqli qobiqning bazisini topamiz: 

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

7

4

3

3

1

1

6

0

1

1

6

0

1

1

6

0

1

1

6

0

0

0

0

0

5

7

7

8

21 15

31

0

0

6 157

0









 

 





 

 











 

 





 

 









 

 







 

 



 

Rangi  3  ga  teng, 

1

2

4

,

,

a a a -  vektorlar  bazis  tashkil  etadi.  Bu  bazislarga 

ortogonallashtirish  jarayoni(Gramm  Shmitd)ni  qo`llaymiz: 

1

1

2

2

21 1

;

b

a b

a

k b







. 

Vektorlarning 

1

2

b b



  skalyar  ko`paytmani  hisoblaymiz  va  hosil  bo`ladigan 

1

2

b b



 

vektorla orthogonal bo`lgani uchun nolga tenglashtiramiz: 





1

2

1

2

21 1

1 2

1 2

21 1 1

21

1 1

0;

0;

0,

b b

b a

k b

b a

b a

k b b

k

b b

 









 

 

21

k  koeffitsiyentni topamiz: 

 

1

2

1

2

21

2

2

2

2

1

1

1

1

2 7 1 4 3 3 ( 1) ( 3)

14

4 9 3

2

4 1 9 1

2

1

3

1

b a

a a

k

a a

b b





        

  

 

 

 

 

 



  



 

 

. 

Shuning uchun 







 



2

2

21 1

7, 4,3, 3

( 2)

2,1,3, 1

3, 2, 3, 1

b

a

k b







   

 

 

, 

3

4

31 1

32 2

b

a

k b

k b







.  

3

b

 vektorni 

1

b

 va 

2

b

 vektorlarga navbat bilan ko`paytiramiz va natijani nolga teng 

deb olamiz. 

1

2

0

b b

 

 tenglikni hisobga olsak, 

3

1

4

1

31 1

1

32 2

1

0

b b

a b

k b b

k b b

 

 

 

 

,  

1

3

4

1

31 1

1

0

b b

a b

k b b

 

 

 

, 

3

2

4

2

32 2

2

0

b b

a b

k b b

 

 

 

 

4

2

32

2

2

0

a b

k

b b



 





 

4

1

31

1

1

2

a b

k

b b



 

 



. 

Demak, 



 

 



3

5,7,7,8

2 2,1,3, 1

1,5,1,10

b





 

.  Natijada  chiziqli  qobiqning 

ortogonal bazis vektorini hosil qilamiz: 













1

2

3

2,1,3, 1 ,

3, 2, 3, 1 ,

1,5,1,10

b

b

b







 



. 

Bu bazisning har bir vektorini normallangan vektorga keltiramiz:  

1

4 1 9 1

15

b



   

, 

2

9

4 9 1

23

b



   

,

3

1 25 1 100

127

b





 



.  

1

1

1

2

1

3

1

,

,

,

15

15

15

15

b

с

b



















; 

2

2

2

3

2

3

1

,

,

,

23

23

23

23

b

с

b





















; 

3

3

3

1

5

1

10

,

,

,

127

127

127

127

b

с

b







 







. 

1

2

3

,

,

c c c   vektorlar ortonormallangan bazis vektorlar hisoblanadi. 

№5.   

1

2

3

,

,

E E E

  -  vektorlar  unitary  fazodagi  ortonormal  bazis  bo’lsa,

1

2

3

3

2

a

iE

E

iE







  va 

1

2

3

2

b

iE

E

iE







    vektorlarning  skalyar  ko`paytmasini 

toping. 

Yechish: 

1

2

3

,

,

E E E

 

- 

ortonormal 

bazis. 

Unitar 

fazoda 

skalyar 

ko`paytma 





1 1

2

2

3

3

,

x y

x y

x y

x y







 

ko`rinishda 

aniqlangan. 

Shuning 

uchun, 

1

2

3

3

2

a

iE

E

iE







  va   

1

2

3

2

b

i E

E

i E







  vektorlarning  skalyar  ko`paytmasi 

quyidagicha bo`ladi: 

 

 

 

 

 

2

2

,

3

2

1

2

3

2

2

3 1 2

2 1 3

a b

i i

i

i

i

i

      

  

   

     

.