Модель множественной регрессии

Тест ранговой корреляции Спирмена. При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонений будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений |e_i| и значения x_i будут коррелированы. Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:
, ( )
где d_i - разность между рангами x_i и |e_i|, n – число наблюдений. Например, если х₂₀ является 25 – м по величине среди всех значений х, а e₂₀ является 32 – м, то d₂₀ = 25 – 32 = -7.
Доказано, что при справедливости нуль – гипотезы статистика
( )
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы (n-2). Поэтому, если наблюдаемое значение статистики ( ) превышает критическое , вычисленное по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонних), то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции ( ) следует отклонить и признать наличие гетероскедастичности. В противном случае нуль – гипотеза, которая соответствует отсутствию гетероскедастичности, принимается.
В модели множественной регрессии проверка нуль – гипотезы может осуществляться с помощью t – статистики по каждому фактору отдельно.
Тест Голдфелда – Квандта. В данном случае предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению переменной x_j, т.е. . Предполагается, что остатки имеют нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.
Тест состоит в следующем:

1. 
   Все n наблюдений упорядочиваются по величине x_j.
   
2. 
   Вся упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки размерностей k, n-2k и k соответственно.
   
3. 
   Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям x_j верно, то остаточная СКО по первой регрессии
   

будет существенно меньше остаточной СКО по третьей регрессии

4. 
   Для сравнения соответствующих дисперсий выдвигается нуль – гипотеза в виде
   

которая предполагает отсутствие гетероскедастичности. Для проверки нуль – гипотезы строится следующая статистика
( )
которая при справедливости нуль – гипотезы имеет распределение Фишера с (k-p-1, k-p-1) степенями свободы.

4. 
   Если
   

,
то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется на уровне значимости α.
По рекомендациям специалистов, объем исключаемых данных k должен быть примерно равен четверти общего объёма выборки n.
Этот же тест может быть использован и при предположении об обратной пропорциональности между дисперсией и значениями объясняющей переменной. В этом случае статистика Фишера принимает вид:
( )
При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений .
В случае, если дисперсии отклонений известны для каждого наблюдения, применяется метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК). Гетероскедастичность устраняется, если разделить каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии.
Рассмотрим для простоты ВНК на примере парной регрессии:
( )