Моделирование случайных последовательностей

1. _{Моделирование} случайных последовательностей с ПРВ семейства распределений Пирсона

Каждому конкретному распределению из семейства распределений Пирсона, которое описывается с помощью ДУ

d ln w(x) _ a₁ x  a₀
(3.10)

2 1 0
dx b x²  b x  b

соответствует свой набор коэффициентов
^a₀ ^{, a}₁^{, b}₀ ^{, b}₁^{, b}₂ . Значит, задавая

конкретное распределение, мы тем самым задаем и коэффициенты.
В качестве примера рассмотрим гамма-распределение, для которого ПРВ запишется в виде [44]

w(х) 
1



^1Г(  1)

• 
  x
  

x^e ^ ,
  1,
_{  1}, (3.11)

где α и β - параметры распределения, Г( ^ ) - гамма-функция [7]. Вычисляя производную в (3.11), получим

d ln w( x) _
dx
 x



x
(3.12)

Сравнивая (3.11) и (3.10), найдем
a₀  ,
a₁  1,
b₁  ,
b₀  b₂  0 _.

Рекуррентное разностное уравнение запишется в следующем виде [44]

x  x  ^{Vx  t} _(  1)  x

_   x
 t  (3.13)

k k 1 ₂
k 1
k 1 k

Учитывая слагаемые более высокого порядка малости, вместо (3.13)
получим
V  t ^  t ² (1   ) ^

x_k 
x_{k 1}  ^x _(  1) 
2
x_{k 1 }   t _ x_{k 1} 

_^ _k . (3.14)
4 _

Для конкретных значений ^ и  величина ^V_x
может быть выражена через

них, т.е. параметр
V  _  1_²

x
t .
и уравнение (3.13) будет содержать только один

Рис. 3.2. График теоретической ПРВ (сплошная линия) и ПРВ,

полученной с помощью алгоритма (3.14) при t =0.001

Рис. 3.3. График теоретической ПРВ (сплошная линия) и ПРВ, полученной

с помощью алгоритма (3.14) при t =0.003

Для экспериментальной проверки степени совпадения ПРВ последовательности (3.14) с гамма-распределением было проведено статистическое моделирование синтезированного алгоритма. На рис. 3.2 и 3.3 представлены теоретическое распределение и распределения, полученные

в результате моделирования. Весь диапазон изменения ^x_k
был разбит на 100

одинаковых интервалов. Экспериментальные распределения получены на основе независимой выборки объемом 100000. Проведена проверка гипотез о принадлежности экспериментальных распределений гамма-распределению

с помощью критерия
^ 2 . Для заданного числа интервалов (100) и выбранного

уровня значимости (^{  0.005} ) критическое значение
^ 2 =140. При значениях

t <0.003 все статистики
^ 2 оказались меньше критического значения. Значит

гипотеза о том, что алгоритм (3.14) дают случайные последовательности
с гамма–распределением принимаются. При t >0.003 некоторые реализации
(3.14) приводили к неустойчивости. Для устранения этого явления, по всей видимости, необходимо использовать приближения более высокого порядка. Динамическая система, описываемая разностным уравнением (3.14), является нелинейной. Поэтому провести более подробный анализ устойчивости этих алгоритмов не представляется возможным.