Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

МОДУЛЬ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. О функциональных зависимостях
между несколькими переменными
При изучении многих вопросов естествознания приходится встречаться с такими зависимостями, в которых задействованы несколько переменных величин, когда значения одной из этих переменных величин полностью определяются значениями остальных переменных. Так, например, температура Т или плотность р тела изменяются при переходе от одной точки данного тела к другой, но так как каждая точка определяется тремя декартовыми координатами л, у, z, то температура Т или плотность р определяются значениями трех переменных л, у и z.
§ 2. Понятие евклидового пространства R и Р ^.
Топология Р ^
Известные из аналитической геометрии понятия координат точек на плоскости и в пространстве и формула для определения расстояния между двумя точками позволяют ввести аналитическое определение евклидова пространства Р ^ и Р\
Множество упорядоченных пар (л, у) действительных чисел л и у называется координатной плоскостью, а каждую пару (л, у) будем называть точкой этой плоскости и обозначать буквой М. Числа л и у называются координатами точки М(л, у).
Координатная плоскость называется евклидовым пространством Р², если для любых двух точек плоскости определено расстояние р( М₁, М₂) по формуле
^р(М1,М2⁾ = -J^(л2 ^{- л}1) + ^(у2 ^{- у}1⁾ .
Аналогичным образом вводится понятие «евклидово пространство» Р². Множество упорядоченных троек (л, у, z) чисел л, у и z называется координатным пространством. При этом каждую тройку (л, у, z) будем называть точкой этого пространства и обозначать М(л, у, z). Запись М(л, у, z) означает, что точка М имеет координаты л, у и z.
Координатное пространство называется евклидово пространство Р \ если для любых двух точек пространства определено расстояние р (М₁, М₂) по формуле
^р(М1,^М2⁾ = ^(л2 ^{- л}1) + ^(у2 ^{- у}1⁾ + ^(z2 ^{- z}1⁾ .

Введенные выше понятия координатной плоскости и координатного пространства представляют собой аналоги числовой прямой, а Е² и Е² - евклидовы пространства - аналог евклидовой прямой Е¹ расстояние между двумя точками М ₁( л₁) и М ₂( л₂) определяются по формуле

p(Mi,^М₂^{) (л}2 ^{— Л}1⁾ = 1^л2 ^— -
Множество Е точек (л, у) плоскости Е² называется окрестностью точки М ₀( л₀, у ₀), если М ₀ является внутренней точкой Е, т.е. М ₀ входит в Е вместе с некоторым кругом:
Е(Мо,т) = {(л,у)](л-Ло)² + (у-уо)² < т²} т > 0.
Круг Е(М₀, т) также является окрестностью точки М₀ . Отметим, что наряду с круговыми окрестностями точки можно рассматривать как квадратные окрестности, так и прямоугольные окрестности точки.
Точка пространства Е² называется граничной для множества Е е Е², если ее любая окрестность содержит как точки из Е, так и точки, не принадлежащие Е (рис. 1) - точка М₁. Точка М₂ - внешняя точка множества Е.

Множество Е называется открытым, если оно служит окрестностью каждой своей точки.

Рассмотрим примеры некоторых множеств.

1. 
   = {(л, у)[(л -1)² + (у -1)² < 2² } - круг радиуса Д = 2 без границы (рис. 2
   
2. 
   ^₂ = {(л, у)](л -1) + (у - 2)² < 1² } - круг радиуса Д = 1 с границей (рис.3);
   
3. 
   F₃ = {(л, у)]1 < л < 2, 2у < 3} - прямоугольник без границ (рис.4);
   
4. 
   F₄ = {(л,у)]1 < л < 3, 1 < у < 3} - квадрат с границей (рис. 5);
   
5. 
   F₅ = {(л,у)] ^/2 < л 2 < у < 1 - л² } (рис. 6)
   
6. 
   F₆ = {(л, у)] 0 < л < 1, 0 < у < 1 - л} - треугольник без границы (рис.
   

7).
Множества Е₁, Е₃, Е₅, Е₆ - открытые.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Объединение совокупности открытых множеств есть открытое множество.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
Множество Е евклидова пространства Е² замкнуто, если оно содержит все свои граничные точки (см. например, множество Е₂ (рис. 3) или Е₄ (рис. 5)). Если из замкнутого множества удалить часть граничных точек (например, из Е₄ (рис. 5) удалить сторону АВ), то получим множество, которое не является ни открытым, ни замкнутым.
Множество Е е Е² замкнуто тогда и только тогда, когда дополнение этого множества (те. множество всех точек Е², которые не входят в Е) открыто.
Множество Е е Е² называется связным, если любые две точки из Е можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
Рассмотрим примеры некоторых множеств.

7. 
   Е₇ = {(х,у)] 1 £ (х -1)² + (у -1)² < 2} (рис. 8), Е₇ - связное замкнутое множество.
   
8. 
   Е₈ = {(х, у)] ху < 0} (рис. 9). Е₈ - несвязное открытое множество.
   
9. 
   Е₉ = {(х,у)] ху > 0} (рис. 10). Е₉ - связное замкнутое множество.
   
10. 
    Е₁₀ ={(х,у)] х + у < 1, х > у² } (рис. 11). Е₁₀ - связное открытое множество.
    

Множество Е е Е² называется областью в Е², если данное множество Е связное и открытое.

Точка М₀ (л₀, у₀) называется предельной точкой множества Е е Е ², если в любой ее окрестности содержаться точки, отличные от М ₀( л₀, у₀). Так, для множества Е точек прямоугольника ABCD (рис. 12)

Е = {(.х,у)] й < л < ^, с < у < Е}.
Без границы каждая точка (л, у) е Е является предельной точкой множества. Предельными точками будут и точки границы, например точка (л₂,у₂). Точка (л₃,у₃) предельной точкой множества Е не будет, хотя существует такая окрестность, в которой содержатся точки из Е. (Обратите внимание, в определении о предельной точке требуется, чтобы в любой окрестности содержались точки из множества Е).

Множество Е е Е² ограничено, если оно содержится в некотором круге с центром в начале координат радиусом Е, Е > 0 (рис. 13).

Замкнутое ограниченное множество Е называется компактным.