Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

Решение:
а) в данном случае выражение, стоящее в правой части имеет смысл при любых л и у, следовательно, область определения данной функции вся плоскость, те. ^²;
б) выражение, стоящее в правой части, не имеет смысла (на 0 делить нельзя), когда у = л. Значит областью определения является вся плоскость, за исключением прямой у = л (рис. 6);

в) квадратный корень принимает действительные значения, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения, т.е. область определения данной функции совпадает с множеством решения неравенства (л -1)(у - 2) > 0 (рис. 7);

г) так как выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть положительным, то область определения данной функции совпадает с

[ л > 0
множеством решения системы неравенств j ^ - а это первая четверть для плоскости лОу;
д) так как выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть выражение положительное, то область определения данной функции совпадает с множеством решения неравенства лу > 0, из которого следует: либо л > 0 и у > 0; либо л < 0 и у < 0. Таким образом имеем область, состоящую из первой и третьей четвертей координатной плоскости;
е) нахождение области определения функции трех переменных выполняется точно так же, как и в случае функций двух переменных. В данном примере область определения функции совпадает с множеством решения неравенства 1 - л - у - z > 0, т.е. л + у + z < 1. А это открытый шар с центром в начале координат радиуса 1.
§ 5. Предел функции нескольких переменных
Пусть на плоскости Л² задана последовательность точек {М_К (л_К, у_К)}. Говорят, что эта последовательность сходится к точке
Мд^,у0)е Л², если расстояние р(М^,Мр) = УУ—лУ+УУуУ стремится к нулю при К ® ¥, т е.
lim р^(Мк^{, М} 0⁾ = lim УУ^-лУ+^(у^^—У² = ⁰.
К ®¥ К®¥
Множество внутренних точек круга с центром в точке ^ и радиусом Л называют окрестность точки ^ .
Таким образом, последовательность точек М_К е Л², К = 1, ¥ сходится к точке М₀, если в любой окрестности точки М₀ находятся все точки последовательности М_К «быть может» за исключением конечного числа, те., начиная с некоторого номера Ж
Точка М₀ е D ^ Л² - предельная точка множества D, значит существует последовательность точек М_К е D, сходящихся к М₀, т.е. М₀ = lim М_К, или
К ®¥

Определение предела функции двух переменных по Коши (рис. 2).

Число А называется пределом функции z = /(л, у) при л ® л₀, у ® у₀, т.е. в точке М₀(л₀, у₀), если для любого e > 0 существует 5 > 0, что для любой точки М(л, у)

⁰ <^(л - ^л0⁾² +⁽у - Уо⁾² <⁵² ^1 /^(л,у⁾ - А] <^е.
Определение предела функции двух переменных по Гейне.
Число А называется пределом функции z = /(л, у) в точке ^0 (л₀, у₀), если для любой сходящейся к М₀(л₀, у₀) последовательности точек

(х^, у^), ^ = 1, ¥, соответствующая последовательность / (М^) значений функции сходится к А (рис. 3).

Доказывается, что приведенные два определения предела функции двух переменных эквивалентные, но при доказательстве того, что данное число А не является пределом функции, удобно пользоваться определением предела по Гейне (те. через последовательности).

При определении предела функции z = /(х, у) в точке М₀(х₀, у₀) полагают, что функция может быть не определена в точке М ₀. Из этого следует, что значения функции /М) отличаются от числа А на достаточно малую величину, если точка М выбрана достаточно близко к точке М₀. Из определения предела функции по Коши получаем неравенство вида
A-е< /(х, у) < А + е, (1)
для любой точки М(х, у), такой, что
0<(х-Хо)² + (у-Уо)² <3². (2)
С геометрической точки зрения неравенство (1) означает следующее: любая точка М(х, у), удовлетворяющая условию (2) (лежит в окрестности точки М₀) находится между двумя плоскостями z = А - е и z = А + е, или, другими словами, предел функции z = /(х,у) при М(х,у) ® М₀(х₀,у₀) определяется поведением функции в окрестности точки М₀( х₀, у₀) и не зависит от значения функции в этой точке.

Отметим, что размеры 5-окрестности точки М₀( х₀, у₀) существенно зависит от величины е.

Так, например, lim (х² + у² -1) = 1, если выбираем е = 1, то

V2

(X, у )®(0,0)
5< 1 (рис. 4), а при е = 0,5

3<


2


(рис. 5).

А если ищем предел / (х, у) = х² + у² +1 в точке то преде-