Моя страничка

5.2. Перевод чисел из одной СС в другую

При решении задач с помощью вычислительной техники исходные данные, как правило, задаются в десятичной СС, в этой же СС представляются и результаты, сами же операции выполняются в двоичной СС. Т. к. данные кодируются в двоичной СС, то возникает необходимость перевода чисел из десятичной СС в двоичную и наоборот.
Правило перевода из двоичной СС в десятичную можно сформулировать следующим образом: все цифры числа и основание СС заменяются их десятичными эквивалентами; число представляется в виде суммы произведений степеней на значения соответствующих позиций; затем производится арифметический подсчет.
Пример:

Правила перевода чисел из десятичную в двоичную различны для целой и дробной частей числа.
Для перевода целого числа (или целой части смешанного числа) используется алгоритм последовательного деления исходного числа на основание новой СС (т. е. на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной). Деление прекращается, когда очередное частное от деления станет равно 0. Остатки от деления, выписанные в обратном порядке, образуют результат.
Пример:

11	2
1	5	2
	1	2	2
		0	1	2
			1	0

Таким образом,

Для перевода дробной части числа используется алгоритм последовательного умножения на основание новой СС (на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной), целые части чисел, полученные в результате умножения дают запись результата.

Пример:

0	875
х
	2
1	75
х
	2
1	5
х
	2
1	0

Умножение прекращается, либо когда дробная часть становится равна 0, либо, когда будет получена требуемая точность представления числа.

0	7
х
	2
1	4
х
	2
0	8
х
	2
1	6

. . . .
Аналогично переводятся позиционные числа и с другими основаниями СС.

5.3. Смешанные СС

В смешанных СС каждая цифра в СС с основанием Р записывается в виде цифры с основанием Q, (QПример:

	=	1001	0010		(двоично-десятичная СС)
		9	2	5

Аналогично рассмотренной двоично-десятичной СС можно использовать и другие смешанные СС при различных значениях P и Q (P- старшее основание СС, Q – младшее).
Отдельно рассматривается случай, когда , где l – целое положительное число. В этом случае запись числа в смешанной СС совпадает с изображением этого числа в СС с основанием Q. Например, , т. е. запись шестнадцатеричного числа в смешанной двоично-шестнадцатеричной СС будет тождественна его записи в двоичной СС. Это свойство широко используется на практике для сокращенной записи чисел заданных в СС с небольшим основанием.
Преобразование чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную
Для представления цифры в 16-чной СС понадобится 4 цифры двоичной СС, для представления цифры в 8-ной СС понадобится 3 цифры двоичной СС. Для перевода 8-чного числа в 2-чную СС надо заменить каждую цифру этого числа ее двоичным эквивалентом. Аналогично переводятся числа из 16-ой СС в двоичную.
Аналогично выполняются обратные преобразования
Таблица эквивалентов

Десятичная, Восьмеричная (2^3), Шестнадцатеричная (2^4),	Двоичная
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10 (A)	1010
11 (B)	1011
12 (C)	1100
13 (D)	1101
14 (E)	1110
15 (F)	1111

Примеры.

10	2->8	8	2->16	16
46,5	101 110,1	56,4	0010 0111,1000	2Е,8
21,5	010 101,1	25,4	0001 0101,1000	15,8

Аналогично можно выполнять преобразования чисел и для СС с основаниями 3 и 9, Они также связаны соотношением (9=3² )

Десятичная, девятеричная	Троичная
0	00
1	01
2	02
3	10
4	11
5	12
6	20
7	21
8	22

Для представления цифры в 9-ной СС понадобится 2 цифры троичной СС. Для перевода 9-чного числа в 3-чную СС надо заменить каждую цифру этого числа ее троичным эквивалентом.

Пример

9	3
345,3	10 11 12,10

6. Кодирование информации

6.1. Цели кодирования

Кодирование – это переход от исходного представления информации удобного для восприятия человеком к представлению удобному для хранения, передачи и обработки информации с использованием вычислительной техники. Обратный процесс называется декодированием. При кодировании информации ставятся следующие цели:

1. 
   удобство физической реализации;
   
2. 
   удобство восприятия;
   
3. 
   высокая скорость передачи и обработки;
   
4. 
   уменьшение избыточности сообщений;
   
5. 
   надежность, т. е. защита от случайных искажений;
   
6. 
   сохранность, т. е. защита от несанкционированного доступа.
   

Эти цели могут противоречить друг другу: экономные сообщения неудобны для восприятия, их надежность уменьшается. Избыточные сообщения более надежны, но уменьшается скорость передачи информации и т.д.
На разных этапах обработки информации достигаются разные цели . Поэтому информация неоднократно преобразуется из вида удобного для восприятия человеком к виду удобному для обработки средствами вычислительной техники и наоборот.

6.2. Понятие о специальном кодировании

Для хранения чисел и выполнения операций над ними используют прямой, обратный и дополнительный коды.

1. 
   Прямой код
   

где - значение цифры в i-ом разряде, q –основание системы счисления.
Пример


При таком представлении чисел реализация арифметических операций в ЭВМ должна предусматривать различные действия с модулями чисел в зависимости от знаков. Сложение чисел с одинаковыми знаками выполняется как обычно: числа складываются и сумме присваивается код знака слагаемых. При сложении чисел с разными знаками определяется большее по модулю число, из большего вычитается меньшее и результату присваивается знак большего по модулю числа.
Для упрощения таких операций в ЭВМ используются специальные коды, которые позволяют свести эту операцию к операции арифметического сложения: обратный и дополнительный.

2. 
   Обратный код
   

,
где - инверсия цифры , определяется . Для двоичной СС инверсией 1 является 0 и наоборот.
Частное правило образования обратного кода для отрицательных двоичных чисел. Для преобразования прямого кода двоичного отрицательного числа в обратный код и наоборот необходимо знаковый разряд оставить без изменения, а в остальных разрядах 0 заменить на 1, а 1 на 0.
Пример.

3. 
   Дополнительный код
   

Таким образом, для преобразования прямого кода q-ичного отрицательного числа в дополнительный , надо преобразовать его в обратный код и в младший разряд добавить 1.

Пример

При выполнении операции сложения с помощью специальных кодов знаковые разряды участвуют в сложении также как цифровые разряды. Знаковые разряды и цифры переноса из старшего цифрового разряда складываются как одноразрядные двоичные коды. Если при этом формируется перенос из знакового разряда, то он добавляется в младший разряд результата при использовании обратного кода и отбрасывается при использовании дополнительного кода.

Пример.

=0.1101 1001	= 0.1101 1001
+	+
=1.1010 0010	= 1.1010 0011
=	=
10.0111 1011	10.0111 1100
+1	отбрасывается
=0.0111 1100	=0.0111 1100

При выполнении алгебраического сложения, перед преобразованием прямых кодов слагаемых в специальные, их надо выровнять по количеству разрядов.

Пример 1.
Получить дополнительный код числа х= -13₁₀

1. 
   х= -13₁₀= -1101₂
   
2. 
   _1.1101
   
3. 
   _=1.0010
   
4. 
   _1.0011
   

_{Пример 2.}
Вычислить, используя дополнительные коды 7₁₀-3₁₀

1)	х= 710= 1112	х= -310= -0112
2)	0.111	1.011 1.100 1.101
3)	0.111 + 1.101 = 10.100
4)	х= 1002=410

Пример 3.
Вычислить, используя дополнительные коды 8₁₀-13₁₀

1)	х= 810=10002	х= -1310= -11012
2)	0.1000	1.1101 1.0010 1.0011
3)	0.1000 + 1.0011 = 1.1011 В знаковом разряде стоит 1, следовательно, результат получен в дополнительном коде.
4)	1.1011 1.1011-1=1.1010 1.0101 В знаковом разряде стоит 1, следовательно, число отрицательное
5)	х= 1.01012= -510