Máseleni shekli ayırmalar usılı menen sheshiw

§3. Máseleni shekli ayırmalar usılı menen sheshiw
Ayırmalar sxemasın dúzbesten burın (24)-teńlemeler sistemasın tómendegishe
(25)
túrinde jazamız.
(25)-sistemas ushın baslanǵısh shártler tómendegishe:

Meyli setkalıq funkciyalar sistemanıń sheshimleri bolǵan funkciyaların approksimaciyların. Bul jerde setkalıq funkciyası anıqlanǵan setka túyinleriniń koordinatası. Keńislik ózgeriwshileri boyınsha alınǵan tuwındılardı bir tárepleme ayırmalı tuwındılar arqalı approksimaciyalasaq, onda sistemanıń birinshi teńlemesin approksimaciyalawshı ayırmalar teńlemesin keńislik boyınsha oraylastırıw shárti tómendegi kóriniske iye boladı.
.
Bul jerde baǵıtı boyınsha adım.
Usıǵan uqsas, (25)-sistemasınıń ekinshi hám úshinshi teńlemeleri ushın joqarıdaǵıday shárt tómendegi túrge iye boladı.

Bul shártlerdi setkanıń túyinleriniń óz-ara jaylasıwınıń tómendegi jaǵdayı qanaatlandıradı. (1-sızılmaǵa qarań)

1-súwret. Oraylastırılǵan ayırmalar sxemasınıń shablonları: ο- , □- , x- .
Sxemalardı dúziw ushın usı shablonlardıń birinshisin (sızılmada 1 a ) paydalanamız, sebebi ol bazıbir mániste minimal shablon bolıp tabıladı.
Saylap alınǵan shegaralıq shártler menen birgelikte ayırmalıq sxemanı barlıq oblastı boyınsha dúziwdiń jolın anıqlap beredi.
Endi, keńislik ózgeriwshileri boyınsha setkanı tómendegishe anıqlayıq:

Bunnan basqa, waqıt boyınsha setkanı anıqlaymız:

Keńislik ózgeriwshileri boyınsha qurılǵan setka shegaralıq shártlerge qarap saylap alınadı.
Meyli lerde aralas shegaralıq shártlerin qarap óteyik, yaǵnıy
(26)
Bul jerde funkciyalardı tuwrımúyeshliginiń sáykes táreplerinde funkciyaların anıqlaydı.
setkalıq funkciyasın setkasında, funkciyasın setkasında, funkciyasın setkasında anıqlaymız. Usınıń menen keńislik boyınsha oraylastırıw ámelge asırıladı. Bunday oraylastırıw arqalı biz dúzilgen sxemanıń ekinshi tártipli dállikke iye bolıwın táminleymiz Bul setka 2.2-sızılmada kórsetilgen.
2-sızılma. (25),(26)-aralas shegaralıq máseleleri ushın keńisliktegi setka: : ο- , □- , x- .
Endi tómendegi úsh ózgeriwshili funkciyanıń operatorların anıqlaymız.

(25)-teńlemeler sistemasına hám operatorların izbe-iz qollansaq, tómendegi integrallıq ańlatpalarǵa iye bolamız:
(27)
Bul jerde .
Buǵan qosımsha jaǵdayı ushın (25)-sistemasınıń úshinshi teńlemesinen tómendegini alamız:
(28)
Bunda .
Endi (27),(28)-ańlatpalardaǵı integrallardı orta tuwrımúyeshlikler formulası boyınsha approksimaciyalasaq, onda tómendegi ayırmalar sxemasına iye bolamız:
(29)
Bunda
(29)-sistemanı tómendegi baslanǵısh shártleri menen
,
(30)
hám shegaralıq shártler menen
(31)
tolıqtıramız.
(29)-ayırmalar teńlemeleriniń sisteması (30) hám (31) shártleri menen birgelikte (25),(26)-másele ushın baslanǵısh shártleri menen qosa ayırmalar sxemasın beredi. (29)-ayırmalar teńlemeleriniń shablonı 1 a,b,v sızılmaları kórsetilgen.

3-sızılma. (29)-ayırmalar ayırmalar sxemasınıń shablonları: ο- , □- , x- .
Endigiden bılay tek (29)-(31)-sxemnaı izertleymiz. Qalǵan sxemalardıń izertleniwi usıǵan uqsas bolǵanlıqtan olarǵa toqtap otırmaymız. Kerek jerinde olardıń sxemanıń dúziliw ózgeshelikleri hám izertleniw ayırmashılıqları aytılıp ótiledi.
Mısalı, bolǵan jaǵdayda izlenip atırǵan funkciyalardıń setkası tómendegishe . Olar 4-sızılmada keltirilgen.
4-sızılma. (25)-máseleniń shegaralıq shártleri ushın keńislik.
Sáykes integrallıq operatorların qollana otırıp (olardı teńelemelerdiń oń jaǵındaǵı lar arqalı anıqlaw qıyın emes), ol integrallardı kvadraturalıq formulalar arqalı integrallay otırıp tómendegi ayırmalar sxemasına iye bolamız:

Bunda

Meyli, endi bolsın. Onda Bul setka 5-sızılmada keltirilgen.
5-sızılma. (25)-sistema ushın keńislik setkası: shegaralıq shártleri , ο- , □- , x- .
Bul jaǵdayda ayırmalar sxeması tómendegishe jazıladı:
(32)

Bunda

Basqa shegaralıq máselelerde usı jol menen approksimaciyalanadı.
Oraylastırılǵan ayırmalar sxeması. Joqarıdaǵı máselelerdi approksimaciyalaw ushın 1-sızılmadaǵı basqa shablonlardı paydalanıwǵa boladı. Mısalı, jaǵdayında 1-sızılmadaǵı 2 shablonın qabıllawǵa boladı. Bul másele ushın 6-sızılma kórsetilgen.
6-sızılma. (25)-sistema ushın keńislik setkası: shegaralıq shártleri , ο- , □- , x- .
hám integralların (25)-teńlemeler sistemasın qollana otırıp tómendegi integrallıq ańlatpalardı alamız:

Bunda
Sońǵı ańlatpa , jaǵdayı ushın tómendegishe jazıladı.

Bul ańlatpalardaǵı integrallardı orta tuwrımúyeshlikler formulasıarqalı approksimaciyalap tómendegi ayırmalar sxemasına iye bolamız:
(33)
Baslanǵısh shártler

hám shegaralıq shártler

Bul jerde
Qátelik máselesi hám aprior bahalar. (29)-(31)-sxemasınıń qáteligin tómendegishe anıqlaymız: ishki tochkalarda
shegarada .
Onda qátelik ushın tómendegi máseleni alamız.
(34)
(35)
(36)
(27)-ni esapqa alsaq, bul sxemanıń qáteligin

Kórinisinde jazıwǵa boladı.

Shegarada (31)-shegaralıq shártlerdi saylap alıw esabınan tómendegini alamız:

Tómendegi setkalıq funkciyalardıń kópligin anıqlayıq:

Bul kópliklerde skalyar kóbeymelerdi

Túrinde hám normanı túrinde saylap alayıq.
hám operatorların tómendegishe anıqlaymız:

Bóleklep qosındılaw formulası arqalı ekenin kórsetiw qıyınshılıq tuwdırmaydı, onda, (34)-(36)-máselesi tómendegi túrge iye boladı:
(37)
bunda keńisligin hám vektorın kiriteyik. Bul keńisliktegi skalyar kóbeymeni túrinde anıqlayıq. belgilewin kiritsek, onda (37)-máselesin eki qabatlı operatorlı-ayırmalar sxeması
(38)
túrinde jazıwǵa boladı. Bunda

Usı (38)-máseleniń sheshimi ushın aprior bahaların alıwǵa óteyik. Bizge málim, Al operatorın , túrinde jazıwǵa boladı. Bunda

Tikkeley tekseriw arqalı ekenin kóriw qıyın emes. Endi ańlatpasın bahalayıq:

egerde
(39)
bolsa
Dara jaǵdayda (39)-shárt orınlansa, onda operatorı oń anıqlanǵan boladı. Bul (39) shárt (33) sxemasınıń turaqlılıq shárti bolıp tabıladı.
Tómendegi teorema orınlı.
Teorema 1. Meyli (39)shárt orınlansın. Onda (38)-sxema da turaqlı hám onıń sheshimi ushın
(40)
aprior bahası orınlı. Bunda

Endi keńisliginde baha alayıq. (2.75)-sxemada bolǵanlıqtan joqarıdaǵı yarım norma túrine iye boladı. Bunda teńlemeniń sheshimi, al , .
Tiykarǵı energetikalıq birdeylik tómendegi túrge iye:
(41)
shárti orınlanǵanlıqtan (41)-energetikalıq birdeyliktiń shep jaǵın bahalaw qıyın emes. Endi oń jaǵın bahalayıq. Approksimaciya qáteligin tómendegishe kórseteyik:

Ápiwayı túrlendiriw shárti orınlanǵanda bahası orınlı ekenin kórsetedi. Yaǵnıy Y4 orınlanadı.Sonlıqtan .
hám operatorlarınıń orın almasıwshı operatorlar ekenin tekseriw qıyın emes. Onda 2-teorema tiykarında tómendegi juwmaqqa iye bolamız.