Muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti samarqand filiali fan: Tizimlar va signallarni qayta ishlash Mustaqil ish Mavzu: Vaqt va daraja bo‘yicha signallarni ifodalash Bajardi: Sariboyev o tekshirdi

Davriy signalning eng oddiy misoli - bu garmonik tebranish (yoki qisqasi uchun garmonik).
bu erda amplituda, \u003d chastota, burchak chastota, harmonikaning boshlang'ich fazasi.
Radiotexnika nazariyasi va amaliyoti uchun harmonika tushunchasining ahamiyati bir qator sabablar bilan izohlanadi:

harmonik signallar statsionar chiziqli elektr zanjirlari (masalan, filtrlar) orqali o'tayotganda o'zlarining shakli va chastotasini saqlab qoladi, faqat amplituda va fazani o'zgartiradi;

harmonik signallarni osongina yaratish mumkin (masalan, LC avtomatik generatorlari bilan).

Davriy bo'lmagan signal - bu cheklangan vaqt oralig'ida nolga teng bo'lmagan signal. Davriy bo'lmagan signalni davriy, ammo cheksiz katta davr bilan qabul qilish mumkin. Davriy bo'lmagan signalning asosiy xususiyatlaridan biri bu uning spektridir. Signal spektri - bu turli xil harmonikalar intensivligining signal tarkibidagi ushbu harmonikalarning chastotasiga bog'liqligini ko'rsatadigan funktsiya. Davriy signal spektri - Furye qatori koeffitsientlarining ushbu koeffitsientlar mos keladigan harmonikalarning chastotasiga bog'liqligi. Davriy bo'lmagan signal uchun spektr signalning to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi hisoblanadi. Demak, davriy signal spektri diskret spektr (chastotaning diskret funktsiyasi), davriy bo'lmagan signal esa uzluksiz spektr (uzluksiz) spektr bilan tavsiflanadi.
Diskret va uzluksiz spektrlarning o'lchamlari har xil bo'lishiga e'tibor bering. Diskret spektr signal bilan bir xil o'lchamga ega, uzluksiz spektrning o'lchami signal o'lchamining chastota o'lchamiga nisbati bilan teng. Agar, masalan, signal elektr quvvati bilan ifodalanadigan bo'lsa, u holda diskret spektr volts [V] bilan, uzluksiz spektr esa gerts [V / Hz] uchun volts bilan o'lchanadi. Shuning uchun doimiy spektr uchun "spektral zichlik" atamasi ham qo'llaniladi.
Avvalo davriy signallarning spektral ko'rinishini ko'rib chiqamiz. Matematikadan ma'lumki, har qanday davriy funktsiyaDiriklet shartlarini qondirish (zaruriy shartlardan biri energiya cheklangan bo'lishi kerak) Furye qatori bilan trigonometrik shaklda ifodalanishi mumkin:
bu erda signalning davrdagi o'rtacha qiymati aniqlanadi va doimiy komponent deb ataladi. Chastotani signalning asosiy chastotasi (birinchi garmonikaning chastotasi), uning ko'paytmalarini esa yuqori garmonikalar deyiladi. Ifoda (3) quyidagicha ifodalanishi mumkin:
A va b koeffitsientlari uchun teskari bog'liqliklar shaklga ega
1-rasmda (6) qatorning trigonometrik shakli uchun davriy signal amplitudalari spektrining tipik grafigi keltirilgan:
Ifodadan foydalanish (Eyler formulasi).
(6) o'rniga Furye qatorining murakkab shaklini yozishimiz mumkin:
bu erda koeffitsient harmonikalarning murakkab amplitudalari deb ataladi, ularning qiymatlari (4) va Eyler formulasidan kelib chiqqan holda quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
(6) va (9) ni taqqoslagan holda, biz Furye qatorini yozishning murakkab shaklidan foydalanganda k ning manfiy qiymatlari "salbiy chastotalar" ga ega komponentlar haqida gapirishga imkon beradi. Biroq, salbiy chastotalarning ko'rinishi rasmiy xarakterga ega va to'g'ri signalni ko'rsatish uchun murakkab yozuvlardan foydalanish bilan bog'liq.
Keyin (9) o'rniga biz quyidagilarni olamiz:
[amplituda / gerts] o'lchamiga ega va 1 Hertz o'tkazuvchanligi uchun signal amplitudasini ko'rsatadi. Shuning uchun S (jw) chastotasining ushbu uzluksiz funktsiyasi murakkab amplituda yoki shunchaki spektral zichlik deb ataladi. Keling, bitta muhim holatga e'tibor qarataylik. (10) va (11) ifodalarni taqqoslab, w \u003d kwo uchun ular faqat doimiy koeffitsient bilan farq qilishini va
o'sha. davri T bo'lgan davriy funktsiyaning murakkab amplitudalarini oraliqda ko'rsatilgan bir xil shakldagi davriy bo'lmagan funktsiyaning spektral xarakteristikasidan aniqlash mumkin. Yuqoridagi narsa spektral zichlik moduli uchun ham amal qiladi:
Ushbu aloqadan kelib chiqadigan bo'lsak, davriy bo'lmagan signalning uzluksiz amplituda spektri konvert va davriy signalning chiziqli spektri amplitudalari konvertlari shakliga to'g'ri keladi va faqat miqyosi bo'yicha farqlanadi. Endi davriy bo'lmagan signalning energiyasini hisoblab chiqamiz. Tengsizlikning ikkala tomonini (14) s (t) ga ko'paytirib, cheksiz chegaralarga qo'shib quyidagilarni olamiz:
bu erda S (jw) va S (-jw) murakkab konjuge miqdorlar. Chunki
Ushbu ifoda Parsevalning davriy bo'lmagan signal uchun tengligi deb ataladi. Bu signalning umumiy energiyasini aniqlaydi. Demak, w chastota atrofida chastota diapazonining 1 Gts uchun signal energiyasidan boshqa narsa yo'q. Shuning uchun funktsiyani ba'zan signalning s (t) spektral energiya zichligi deyiladi. Endi biz Furye konvertatsiyasining asosiy xususiyatlarini ifodalovchi spektrlar bo'yicha bir nechta teoremalarni dalilsiz keltiramiz.
Tarmoqni tahlil qilish muammolarini hal qilish usullarini soddalashtirish uchun signallar ma'lum funktsiyalar yig'indisi sifatida taqdim etiladi.
Ushbu jarayon umumlashtirilgan Furye seriyasining kontseptsiyasiga asoslanadi. Matematikada Dirichlet shartlarini qondiradigan har qanday funktsiya qator sifatida ifodalanishi isbotlangan:
Aniqlash uchun qatorning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiramiz va chap va o'ng tomonlarining integralini olamiz:

ortogonallik shartlari bajariladigan interval uchun.

Ko'rinib turibdiki, Furye seriyasining umumlashtirilishi quyidagicha ifodani oldi:

Signalni ketma-ket kengaytirish uchun ma'lum bir funktsiya turini tanlaymiz. Bunday funktsiya sifatida biz ortogonal funktsiyalar tizimini tanlaymiz:

Seriyani aniqlash uchun qiymatni hisoblang:

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Grafik jihatdan ushbu ketma-ketlik amplituda garmonik komponentlarning ikkita grafigi ko'rinishida keltirilgan.

Olingan ifoda quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Trigonometrik Furye seriyasini yozishning ikkinchi shaklini oldi. Grafik jihatdan ushbu seriya ikkita grafik - amplituda va faza spektrlari ko'rinishida keltirilgan.

Biz Furye seriyasining murakkab shaklini topamiz, buning uchun Eyler formulalaridan foydalanamiz:

Ushbu shakldagi spektr diapazondagi chastota o'qida grafik tasvirlangan.

Murakkab yoki amplituda shaklida ifodalangan davriy signal spektri diskret ekanligi aniq. Bu shuni anglatadiki, spektrda chastotali komponentlar mavjud
Davriy bo'lmagan signalning spektral xarakteristikalari
Yagona signal radiotexnikada davriy bo'lmagan signal sifatida qabul qilinganligi sababli, uning spektrini topish uchun biz signalni davri bilan davriy ravishda ifodalaymiz. Keling, ushbu davr uchun Furye seriyasining transformatsiyasidan foydalanaylik. Biz quyidagilarni olamiz:

Olingan ifodani tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, komponentlarning amplitudalarida cheksiz kichik bo'ladi va ular doimiy ravishda chastota o'qida joylashgan. Keyinchalik, ushbu vaziyatdan chiqish uchun biz spektral zichlik tushunchasidan foydalanamiz:

Olingan ifodani murakkab Furye qatoriga almashtirib quyidagilarni olamiz:

Bu erda spektral zichlik va ifodaning o'zi to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi. Uning spektridagi signalni aniqlash uchun teskari Furye konvertatsiyasi qo'llaniladi:

Fourier konvertatsiya qilish xususiyatlari

To'g'ridan-to'g'ri va teskari Furye transformatsiyasining formulalaridan ko'rinib turibdiki, agar signal o'zgarsa, u holda uning spektri ham o'zgaradi. Quyidagi xususiyatlar o'zgargan signal spektrining o'zgarishdan oldin signal spektridan bog'liqligini o'rnatadi.
1)