Muhammadjonova Xadichaxonning "Elektrodinamika"

Andijon Davlat universiteti
Fizika-Matematika fakulteti
Fizika ta’lim yo’nalishi
302-guruh talabasi
Muhammadjonova Xadichaxonning “Elektrodinamika” fanidan tayyorlagan Mustaqil ishi.
Mavzu:Elektromagnit maydondagi zaryad.
Reja.
Tekis harakatlanayotgan zaryad maydoni.
Elektr maydonda zaryadning harakati.
Magnit maydonda zaryadning harakati.
Maydon uchun almashtirish formulalarining tatbiqi sifatida relyativistik tezlik bilan harakatlanayotgan zaryad maydonini aniqlaymiz.Zaryad bilan harakatlanayotgan K’ sanoq sistemada magnit maydon nolga teng (A’=0). Bu sistemada tinch turgan nuqtaviy zaryadning potensiali:
formula bilan aniqlanadi.Almashtirish formulalariga asosan laboratoriya sanoq sistemasida
= ,
Endi radius-vector r’ ni Lorentz almashtirishlari yordamida x,y,z orqali ifodalaymiz:
r’=
Bu ifodagi asimmetriya harakat x o’qi bo’ylab bo’layotgani bilan bog’liq.Bunga asosan
.
Agar x=vt, y=0, z=0 nuqta t momentda zaryadning koordinatalarini aniqlasa,zaryaddan kuzatish nuqtasi (x,y,z) ga o’tkazilgan radius-vektorni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
r=i(x-vt)+jy+kz
r= .
Endi masalani qutb koordinatalarida ko’ramiz:
x-vt=rcos , = rsin
Potensial ifodasini yozamiz:
=
Endi almashtirish formulalariga asosan laboratoriya sanoq sistemasida vector potensialini topamiz:
= , =0, =0 .
Bu natijani ixtiyoriy yo’nalish uchun umumlashtirib, vektor ko’rinishda yozish mumkin:
A= .
Potensiallar uchun olingan ifodalarga asosan elektr va magnit maydon kuchlanganliklarini hisoblaymiz.Bunda vaqt bo’yicha hosilani x o’qi bo’yicha hosila bilan almashtirish mumkin, ya’ni
=-v .
Hisoblash ishlarini amalga oshirib, quyidagilarni hosil qilamiz:
=
=
=
Yoki vektor ko’rinishda
E= .
Bu ifodadan ko’rinib turibdiki, tinch turgan zaryad maydonidan farqli ravishda tekis harakatdagi zaryadning elektr maydoni sferik simmetriyaga ega emas.Zaryaddan kuzatish nuqtasigacha bo’lgan masofa r o’zgarmas bo’lganda, burchak -dangacha o’zgarganda elektr maydon kuchlaganligi eng kichik qiymati (
-)

Dan eng katta qiymat (-/2;
E=
Gacha ortadi.Tezlik ortganda kamayadi,E esa ortadi.Olingan natijalarni boshqacha talqin qilish mumkin.Skalyar potensial x o’qi bo’ylab v tezlik bilan harakatlanuvchi ellipsoid
+()=const
Sirtida o’zgarmas qiymatga ega.Bu sirt zaryad harakati yo’nalishida sferani 1: marta siqish natijasida hosil bo’ladi.Zaryadning tezligi yorug’lik tezligiga yaqinlashganda maxraji = /2 atrofida burchakning tor intervalida nolga yaqin bo’ladi.Shu intervalni baholaymiz:
1- ()
Bundan v da elektr maydon noldan farqli soha kengligi
Ifoda bilan aniqlanishini topamiz.
Magnit maydon uchun quyidagi ifodani olamiz:
H .
Xususan v<E= H=
Zaryadlangan zarrachaning o’zgarmas bir jinsli elektr maydondagi harakatini o’rganishdan boshlaymiz.Bu holda uning harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
- =eE .
Maydon yo’nalishi Ox o’qi bilan mos tushadi deb olamiz.Harakat albatta tekislikda sodir bo’ladi.Bu tekislik sifatida xOy tekisligini tanlaymiz.Bu holda o’qlarga nisbatan proyeksiyalarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
=eE , =eE =0 .
Bu tenglamalarni 1 marta integrallaymiz:
=eEt+ = .
Bu yerda va zarrachaning boshlang’ich impulsining mos o’qlarga proyeksiyalari.Boshlang’ich vaqtda =0 va = deb olamiz. Bu bilan masalaning umumiyligiga putur yetmaydi, ammo masala ancha soddalashadi.
Harakat tenglamalarini 2-marta integrallash uchun tezlik,kinetik energiya va impuls orasidagi bog’lanishdan foydalanamiz.Bu bog’lanishga asosan
yoki = .
Bu yerda
===
Huddi shunga o’xshash
= yoki = .
Yuqoridagi 2 tenglamani integrallaymiz:
x= +
y=+ .
Integrallash doimiylari va lar boshlang’ich shartlardan topiladi. Masalan,boshlang’ich vaqtda zaryad koordinata boshida turibdi deb olsak, =- va =0 , zaryadning boshlang’ich energiyasi.Bularni hisobga olamiz, zaryadning harakat trayektoriyasi uchun quyidagini hosil qilamiz:
x= .
Bu ifoda ko’ngdalang elektr maydonda (E ) zaryad zanjir chizig’I bo’ylab harakat qilishini ko’rsatadi.Agar zaryadning tezligi v<x = =
Ya’ni zaryad parabola bo’ylab harakat qiladi.Bu bizga nazariy mexanika kursidan yaxshi tanish bo’lgan natijadir.
Masala.Bo’ylama bir jinsli elektr maydonda zaryadning harakatini o’rganing.
Yechish. Elektr maydonni x o’qi bo’ylab yo’naltiramiz.Boshlang’ich shartlar quyidagi ko’rinishda bo’lsin:
=0, =0, =m .
Harakat tenglamasini 1 marta integrallaymiz:
=0 .
Relyativistik zarrachaning tezligi va impulse orasidagi bog’lanishdan foydalanib yuqoridagi tenglamani
=c
Ko’rinishda yozib olamiz.Bu tenglama relyativistik zarrachaning tekis tezlanuvchan harakat qonunini beradi.Nisbiylik nazariyasida tekis tezlanuvchan harakatni tushunish uchun turli vaqtlarda zarracha bilan bog’langan K’ , K’’ , K’’’ , …. Sanoq sistemalarini kiritamiz.Har bir vaqt momentida zarracha bilan bog’langan bu sanoq sistemalarda uning tezligi nolga teng.Shuning uchun 4-tezlanish uchun =0 va masalaning shartiga ko’ra ’= = /m=eE/m , = =0 .
4-tezlanish uchun Lorentz almashtirishlaridan foydalansak, tinch turgan sanoq sistemaga nisbatan tezlanishning x o’qiga proyeksiyasi
= .
2-tomondan esa
+ .
Yuqoridagi ikki ifodani solishtirib quyidagi tenglamani topamiz:
v’= , v=x’ .
Bu tenglamani 2marta integrallab, elektr maydonda zaryadning tekis tezlanuvchan harakat qonunini aniqlaymiz:
x-= .
Bu giperbola tenglamasidir.Shuning uchun ko’pincha relyativistik mexanikada o’zgarmas elektr maydonda zaryadning harakati klassikadagi parabolikdan farqli ravishda giperbolik deyiladi.
O’zgarmas va bir jinsli magnit maydonda zaryadning harakatini ko’rib chiqamiz.Bu holda zaryadning harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishni oladi.
= .
Magnit maydonda zaryadni ko’chirishda bajarilgan ish nolga teng bo’lganligi uchun energiya saqlanadi, ya,ni =const.Bu holda relyativistik zarrachaning tezligi, impulse va energiya orasidagi
p=
Bog’lanishni inobatga olsak impuls tezlik orqali ifodalash mumkin:
.
Magnit maydonni z o’qi bo’ylab yo’naltirsak:
= , = , =0
Birinchi ikki tenglamani va ga nisbatan birinchi tartibli, chiziqli va bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi bo’lib, uning yechimi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
= (t) = cos(
= (t) = cos(
Bu yerda = tezlikning magnit maydonga perpendiulyar tashkil etuvchisi bo’lib, xy tekisligida kattalik jihatdan o’zgarmaydi. boshlang’ich faza.
Harakat trayektoriyasini toppish uchun yuqoridagi tenglamani integrallaymiz|:
x(t)-=Rsin (,
y(t)- =R cos( ,
= =
Bu yerda R== = ,
P impulsning xy tekisligiga proyeksiyasi.
Shunday qilib, zaryad magnit maydonda unga perpendikulyar tekislikda moduli jihatda o’zgarmas bo’lgan tezlik bilan R radiusli aylana bo’ylab harakat qilihini aniqladik. Aylanish chastotasi
Ifoda nilan aniqlanadi va siklotron chastota deyiladi. Agar v<.
Siklotronda zaryadlangan zarrachalarni tezlatish uchun magnit va elektr maydondan foydalaniladi.Tezlatgich ikki qismdan iborat bo’ladi.Birinchi qismida tezlatgich kamerasiga kirgan zaryadlar elektr maydonda tezlatiladi.Bundan keyin ular siklotronning yarim aylanadan iborat bo’lgan qismida magnit maydon ta’sirida tezligini o’zgartirmasdan burib beriladi.Burilgan zarracha ikkinchi elektr maydonda tezlatiladi.Yana magnit maydonga kiradi va hokazo.Boshlang’ich vaqtlarda zarrachalarning tezligi kichik bo’lganda elekktr maydonning chastotasi bilan aniqlanadi.Bunda maydon chastotasi energiyaga bog’liq bo’lmaydi.Uning tezligi relyativistikka yaqinlashganda aylanish chastotasi bilan aniqlanadi.
Endi tenglamalarning uchinchisini integrallaymiz:
z- =t ,
Bu yerda boshlang’ich tezlikning magnit maydonga parallel tashkil etuvchisi.
Olingan natijalarni umumlashtirib quyidagi xulosa kelamiz:
Bir jinsli magnit maydonda zaryad o’qi magnit maydon yo’nalishi bilan mos keluvchi vint chizig’I bo’ylab harakatlanadi.Hususann (=0) bo’lsa, harakat trayektoriyasi aylanadan iborat bo;ladi.
E’tiboringiz
uchun
tashakkur!