Mühazirə kursu Азярбайжан Республикасы Тящсил Назирлийинин

8.  Van-der-Vaals  izotermləri.  Böhran  temperaturu. 
Şəkil 14.4-də müxtəlif temperaturlarda (14.8) düsturuna uyğun 
izotermlər göstərilmişdir. Bu əyrilər Van-der-Vaals izotermləri 
adlanır.  Van-der-Vaals  tənliyi  qazın  həcminə  görə  kub 
tənlikdir.  Doğrudan  da  (14.8)  tənliyini  V-yə  görə  həll  etsək, 
aşağıdakı kub tənliyi alarıq: 
 
0
)
(
2
3





P
ab
V
P
a
V
P
RT
b
V
               (14.9)  
Cəbrdən  məlumdur  ki,  gətirilmiş  üstlü  tənliyi  onun  kökləri 
vasitəsilə  ifadə  etmək  olar.  Tənliyin  kökləri  V
1
,  V
2
,  V
3  
olarsa, 
onda aşağıdakı bərabərlik ödənməlidir:  
 
(V-V
1
)(V-V
2
)(V-V
3
)=0                      (14.10) 
Buradan görünür ki, təzyiqin bir qiymətinə, məsələn P
/
-ə (şəkil 
14.4) qazın həcminin üç qiyməti V
1
, V
2
, V
3
 uyğun gəlir. Ancaq 
temperatur artdıqca, şəkil 14.4-dən göründüyu kimi, V
1
, V
2
, V
3
 
qiymətləri  bir  birinə  yaxınlaşır  və  nəhayət  4-cü  əyriyə  uyğun 
temperaturda  onlar  üst-üstə  düşürlər.  Bu  temperatur  böhran 
temperaturu T
K
, həcmin bu V
K
 qiyməti böhran həcmi, V
K 
-yə 
uyğun  təzyiq  isə  böhran  təzyiqi  P
K
  adlanır.  Şəkil  14.4-də 
böhran nöqtəsi B ilə göstərilmişdir. Bu nöqtədə V
1
=V
2
=V
3
=V
k
-
dır.  (14.9)  tənliyində  hal  parametrləri  P  və  T-nin  əvəzinə 
onların  böhran  kəmiyyətlərini,  (14.10)-də  isə  V
1
=V
2
=V
3
=V
K
 
olduğunu nəzərə alsaq 

178 
 
0
3
3
)
(
0
3
2
2
3
3
2
3

















k
k
k
k
k
k
k
k
V
V
V
V
V
V
V
V
P
ab
V
P
a
V
P
RT
b
V
 
olar. Bu tənliklər o vaxt bir birinə bərabər olar ki, eyni dərəcəli 
V-lərin əmsalları bərabər olsun. Bu şərtdən 
,
3
b
P
RT
V
k
k
k


 
,
3
2
k
k
P
a
V

 
k
k
P
ab
V

3
 
alınar. Bu tənliklər sistemini həll edərək böhran kəmiyyətlərini 
aşağıdakı kimi tapırıq: 
b
V
k
3

, 
2
27b
a
P
k

, 
Rb
a
T
k
27
8

.         (14.11) 
 
Van  der  Vaals  sabitləri  (a,  b)  məlum  olarsa  böhran 
kəmiyyətlərini bu düsturlarla hesablamaq olar. Ümumiyyətlə a, 
b sabitləri temperaturdan asılıdırlar. 
Şəkil  14.4-dən  göründüyü  kimi  böhran  temperaturundan 
yuxarı  temperaturlarda  Van-der-Vaals  izotermləri  ideal  qazın 
izotermləri 
kimi  olur.  Böhran  temperaturundan  aşağı 
temperaturlarda Van-der-Vaals  izotermlərini  üç hissəyə bölmək 
olar: I hissə BC xəttindən sağda olan hissə – adi izotermdir. Bu 
hissədə  real  qaz  özünü  ideal  qaz  kimi  aparır.  III  hissə  –  AB 
xəttindən  solda  qalan  hissədir.  Burada  həcmin  cüzi  azalması 
zamanı təzyiq kəskin artır. Belə asılılıq mayelərə xasdır. Deməli, 
III  hissədə  qaz  maye  halındadır.  II  hissə  –  ABC  xəttini  əhatə 
etdiyi hissədir. Bu hissə buxar və maye qarışığından ibarət olub 
dayanıqsız haldır. Bu hissə ikifazalı hissə adlanır.  
Yuxarıda deyilənlərdən məlum  olur ki, AB xətti (şəkil 14.4) 
maye fazasından ikifazalı hala və tərsinə keçidin, BC xətti isə 
qaz  fazasından  ikifazalı  hala  və  tərsinə  keçidin  başlanğıcını 
göstərir.  Böhran  temperaturundan  yuxarı  temperaturlarda 
yalnız  bir  faza,  qaz  fazası  mövcud  olur.  Ona  görə  də 

 
 
 
temperaturu  böhran  temperaturundan  böyük  olan  qazı 
izotermik  olaraq  mayeyə  çevirmək  mümkün  deyildir.  Böhran 
temperaturunda  fazalar  arasında  sərhəd  olmur,  doymuş  buxar 
və mayenin sıxlıqları bərabərləşir, yəni qaz və mayenin xüsusi 
həcmləri  eyniləşir.  Buxarlanma  (kondensasiya)  istiliyi  sıfra 
bərabər  olur.  İzotermik  sıxılma  əmsalı  böyük  qiymət  alır. 
Genişlənmənin  termik  əmsalı  və  sabit  təzyiqdə  istilik  tutumu 
sonsuzluğa  yaxınlaşır.  Sıxılmanın  və  termik  genişlənmənin 
böyük  qiymət  alması  sıxlığın  fluktuasiyasının  çox  böyük 
olmasına  gətirir.  Nəhayət,  böhran  halında  mayelərin  səthi 
gərilməsi olmur. 
 
 
 
 
          Şəkil 14.4 
 
 
 
 
 
 
 

180 
 
MÜHAZIRƏ 15 
Paylanma funksiyaları 
 
1.  Molekulların  sürətlərə  görə  paylanması.  Maksvell 
paylanması.  Kinetik  enerjini  xarakterizə  etmək  üçün 
Mendeleyev 
Klapeyron 
tənliyindən 
istifadə 
edərək 
molekulların  istilik  hərkətinin  sürətini  təyin  edərkən  onu  orta 
kvadratik  sürət  adlandırırlar.  Bu  sürət  xaotik  hərəkətdə  olan 
heç  bir  molekulun  fərdi  sürəti  deyildir.  Molekullar  müxtəlif 
sürətlərlə hərəkət edirlər. Molekulların sürətlərə görə paylanma 
qanununu  Maksvell  müəyyən  etmişdir.  O,  tapmışdır  ki, 
termodinamik  tarazlıqda  olan  ideal  qazda  sürətləri 

  ilə 

+d

 
arasında olan molekulların sayı aşağıdakı düstura tabedir: 




d
kT
m
N
dN
kT
m
e
2
2
2
3
0
4
2
2
0









            (15.1) 
O,  bu  düsturla  ifadə  olunan  qanunu  ehtimal  nəzəriyyəsindən 
istifadə  edərək  çıxarmışdır.  Ona  görə  də  bu  qanun  statistik 
qanundur.  
Tutaq ki, müəyyən bir həcmdə N sayda eyni molekul vardır. 
Onlar  bir-birilə  daim  toqquşurlar.  Toqquşma  zamanı  onlar 
enerji  mübadiləsində  olurlar.  Belə  təsəvvür  edək  ki,  bütün 
molekullar  öz  enerjilərini  tamamilə  1  molekula  verirlər. 
Nəticədə  1  molekul  böyük  sürətlə  hərəkət  edir,  qalanları  isə 
dayanır.  Əlbəttə  belə  halın  yaranması  mümkün  deyil,  lakin 
ehtimalı  sıfırdan  fərqlidir.  Toqquşma  zamanı  bütün 
molekulların enerjisinin 10 molekula verilməsi ehtimalı əvvəlki 
halın  ehtimalından  böyük  olur.  Bu  ehtimal  enerjinin  bütün 
molekullar arasında eyni paylanmasına qədər artır və belə halın 
ehtimalı ən böyük olur.  
Molekullar  bir-birilə  arası  kəsilmədən  (adi  şəraitdə  bir 
molekul 1 saniyədə təqribən 10
9
 sayda zərbə alır) toqquşduqları 
üçün  enerjinin  bərabər  paylanması  mümkün  deyildir,  yəni 

 
 
 
bütün  molekullar  eyni  sürətə  malik  ola  bilməzlər,  onlar  çox 
müxtəlif sürətlərlə hərəkət edirlər. Bircə onu söyləmək olar ki, 
ən böyük və ən kiçik sürətlə hərəkət edən molekulların sayı çox 
az  olur.  Ən  ehtimallı  sürətə  yaxın  sürətlərlə  hərəkət  edən 
molekulların  sayı  daha  çox  olur.  Qazın  hal  parametrləri  sabit 
qaldıqda bu qaydada paylanma zamandan asılı olmayaraq sabit 
qalır,  dəyişmir.  Belə  paylanma  qaz  molekullarının  hərəkət 
istiqamətindən  də  asılı  deyildir.  Fərz  edək  ki,  sürəti 

 ilə 


d

 arasında  olan  molekulların  sayı  dN-dir.  N  sayda 
molekuldan  dN  sayda  molekulun  baxılan  sürət  intervalında 
olma  ehtimalı 
N
dN
 nisbətinə  bərabərdir.  Bu  nisbətin  qiyməti 
sürət intervalının qiymətindən asılıdır. Əgər sürət intervalını ən 
kiçik sürətdən (
0


) ən böyük sürətə (



) qədər götürsək, 
bu  nisbət  1-ə  bərabər  olar.  Yəni  bu  nisbətin  ixtiyari  sürətli 
bütün zərrəciklər üzrə inteqralı vahidə bərabər olmalıdır. 
1


N
dN
 
Bu  nisbətin  vahid  sürət  intervalına  düşən  qiymətini  göstərən 
funksiya  ehtimal  funksiyasının  sıxlığı  və  ya  paylanma 
funksiyası adlanır və aşağıdakı kimi ifadə olunur: 


d
dN
N
f
1
)
(

 
Axırıncı  iki  düsturun  müqayisəsindən  və  yuxarıdakı 
mülahizədən 





1
)
(


d
f
 
alarıq.  Buradan  görünür  ki, 
)
(

f
 monoton  dəyişən  funksiya 
olmalıdır. 
Molekulların 
sürətlərə 
görə 
paylanması 
fəzanın 
istiqamətindən 
asılı  deyildir.  Ona  görə  də  ehtimal 
nəzəriyyəsinə  əsasən  paylanma  funksiyası  molekulların 
müxtəlif  istiqamətlərdə  paylanma  funksiyalarının  hasilinə 

182 
 
bərabər  olacaqdır.  Əgər  x,  y,  z  oxları  istiqamətində  paylanma 
funksiyalarını  uyğun  olaraq 
),
(
x
f

 
)
(
y
f

 və 
)
(
z
f

 ilə  işarə 
etsək 
)
(
)
(
)
(
)
(
z
y
x
f
f
f
f





 
olar.  Digər  tərəfdən  ixtiyari  oxun  müsbət  və  mənfi 
istiqamətlərində  paylanma  eyni  olmalıdır,  yəni 
)
(
)
(
x
x
f
f




 
ödənməlidir.  Bu  isə  o  vaxt  ola  bilər  ki,  paylanma  funksiyası 
sürətin  kvadratı  ilə  ifadə  olunsun.  Sürətin  kvadratı 
2
0
m
 
miqyasında  enerji  olduğundan  bu  funksiyaları  enerjinin 
funksiyası kimi yazmaq olar: 
)
(
)
(
)
(
)
(
z
y
x
E
f
E
f
E
f
E
f

. 
Burada 
2
,
2
,
2
,
2
2
0
2
0
2
0
2
0
z
z
y
y
x
x
m
E
m
E
m
E
m
E








-dir. 
   Paylanma  funksiyasının  təyinindən 
N
dN
d
f



)
(
 və  ya 

dE
E
f
)
(
 
N
dN

 yazsaq  və 
i
E
dE
N
dN
)
(

 qəbul  etsək 
i
E
dE
dE
E
f
)
(
)
(

 
kimi  yazmaq  olar.  Bu  ifadə  üzərində  bəzi  əməliyyatlar  aparıb  
x, y, z istiqamətləri üçün  
kT
E
z
kT
E
y
kT
E
x
kT
E
z
y
x
Be
E
f
Be
E
f
Be
E
f
Ae
E
f








)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
 
alarıq.  Burada  A,  B  normalaşdırıcı  vuruqdur.  Bu  düsturlarda 
kinetik  enerjinin  uyğun  ifadələrini  yazıb  normalaşdırma 
şərtindən  A  və  B-ni  tapaq.  X  oxu  üzrə  paylanma  funksiyası 
üçün normalaşma şərtini aşağıdakı kimi yazaq 
1
)
(
2
2
2
0
2
0

















x
kT
m
x
kT
m
x
x
d
e
B
d
Be
d
f
x
x






 
Baxılan inteqral Puasson inteqralıdır. Bu ifadədən 

 
 
 
kT
m
m
kT
d
e
B
kT
m




2
2
1
1
0
0
2
2
0








 
alınar. Onda X oxu üzrə paylanma funksiyası 
kT
m
x
x
e
kT
m
f
2
0
2
0
2
)
(





 
olar.  Paylanma  istiqamətdən  asılı  olmadığına  görə  (qaz 
izotropdur) 
kT
m
z
kT
m
y
z
y
e
kT
m
f
e
kT
m
f
2
0
2
0
2
0
2
0
2
)
(
,
2
)
(










 
yazmaq  olar.  İstiqamətlər  üzrə  paylanma  bir  birindən  asılı 
olmayan  hadisələr  olduğundan  fəzada  paylanma  funksiyası 
istiqamətlər  üzrə  paylanma  funksiyalarının  hasilinə  bərabər 
olacaqdır 
kT
m
kT
m
e
kT
m
e
kT
m
f
z
y
x
2
2
3
0
)
(
2
2
3
0
2
0
2
2
2
0
2
2
)
(

























. 
Buradan görünür ki, 
2
3
0
3
2








kT
m
B
A

-dir. 
Paylanma  funksiyalarının  ifadəsindən  alınır  ki,  sürət  sıfra 
bərabər  olduqda  funksiya  maksimum  qiymət  alır.  Lakin  bu 
nəticə  yuxarıdakı  mülahizələrə  uyğun  gəlmir.  Bu  mülahizəyə 
görə  molekulların  əksər  hissəsi  ən  ehtimallı  sürətə  yaxın 
sürətlərlə  hərəkət  etməlidir.  Bu  nəticə  ondan  irəli  gəldi  ki, 
sürətlər sahəsində hər bir sürətə uyğun nöqtələrin yerləşməsinə 
məhdudiyyət  qoyulmadı.  Sürətlər  fəzasını  kürə  şəklində 
təsəvvür  etsək  sürəti 

 ilə 


d

 arasında  olan  nöqtələrin 
həndəsi  yeri 

d
 qalınlığına  malik  olan  elementar  kürə  qatında 
olacaqdır  (şəkil 15.1).  

184 
 
 
Şəkil 15.1 
Belə  paylanmanı  xarakterizə  edən  funksiya 
2
4

-la 
mütənasib olacaqdır, yəni 
2
2
2
3
2
2
0
2
4
4
)
(
)
(


















kT
m
o
e
kT
m
f
W
 
ifadəsi ilə təyin olunacaqdır. 
Alınan  ifadə  göstərir  ki,  paylanma  funksiyası  sürət  sıfra 
bərabər  olduqda  axırıncı  vuruğun  hesabına,  sürət  sonsuzluğa 
yaxınlaşdıqda isə eksponensial vuruğun hesabına sıfıra bərabər 
olur.  Bu  funksiyanı 


d
NW
dN
)
(

 düsturunda  yerinə  yazaraq 
(15.1) düsturunu almaq olar. 
Bu funksiyanın maksimumunu təmin edən sürət ən ehtimallı 
sürət  adlanır, 

e
  ilə  işarə  olunur  və  ekstremallıq  şərtindən 
tapılır: 
0
2
2
2
0














kT
m
e
d
d
 
Buradan 
o
e
m
kT
2


 alınır.  
Paylanma  funksiyasından  istifadə  edərək  molekulların  orta 
və kvadratik orta sürətini uyğun olaraq 






d
W
)
(
        və               






d
W
)
(
2
2
 
düsturlarından hesablamaq olar. Hesablama göstərir ki, 

 
 
 
0
8
m
kT



        və         
0
2
3
m
kT


 
olur.  Axırıncı  molekulyar  kinetik  nəzəriyyənin  əsas 
düsturundan alınmış  ifadə ilə üst üstə düşür. 
Şəkil 
15.2-də 
Maksvell 
paylanmasının 
qrafiki 
göstərilmişdir.  Cizgilənmiş  sahə  sürətləri 

  ilə 

+d

 
intervalında  olan  molekulların  sayını  göstərir.  Əyrinin  absis 
oxu  ilə  əmələ  gətirdiyi  sahə  isə  ədədi  qiymətcə  molekulların 
tam  sayına  bərabər  olur.  Qrafikin  maksimumu  ən  ehtimallı 
sürətə  uyğun  gəlir.  Qrafikdən  görünür  ki,  əksər  molekullar  ən 
ehtimallı sürət ətrafında olan sürətlərlə hərəkət edirlər. 
 
Şəkil 15.2 
 
Temperatur  artdıqca  əyrinin  maksimumu  sağa  sürüşür  və 
əyri  dartılmış  şəkildə  olur.  Bu  o  deməkdir  ki,  temperatur 
artdıqca  kiçik sürətlərlə  hərəkət edən  molekulların sayı azalır, 
böyük  sürətlərə  malik  olan  molekulların  sayı  isə  artır  (şəkil 
15.3). Ancaq hər iki əyrinin əhatə etdiyi sahə eyni qalır. Kütlə 
azaldıqda da əyri sağa doğru sürüşür. 

186 
 
 
Şəkil 15.3 
 
2.  Maksvell  paylanmasının  təcrübi  yoxlanması.  Ştern 
təcrübəsi.  İlk  dəfə  təcrübi  olaraq  molekulların  sürəti  Ştern 
tərəfindən ölçülmüş və molekulların sürətlərə görə paylanması 
öyrənilmişdir.  Təcrübə  aparılan  qurğu  koaksial  yerləşdirilmiş 
iki  silindrdən  və  onların  simmetriya  oxu  boyunca  uzadılmış 
simdən  ibarətdir.  Sim  çətin  əriyən  platindən  hazırlanmış, 
üzərinə  isə  gümüş  təbəqə  çəkilmişdir.  Daxili  silindrin  yan 
səthində onun oxuna paralel dar yarıq açılmışdır. Xarici silindr 
isə bütövdür. Bu qurğunun daxilindən hava çıxarılmışdır (şəkil 
15.4).  
 
Şəkil 15.4 
 
Simdən  elektrik  cərəyanı  keçdikdə  o  qızır  və  onun  səthindən 
gümüş  atomları  buxarlanır.  Bu  atomlar  bütün  istiqamətlərdə 

 
 
 
xaotik  hərəkət  edirlər.  Radial  istiqamətdə  a  yarığına  doğru 
hərəkət edən gümüş atomları  yarıqdan keçərək böyük silindrin 
daxili  səthinə  düşürlər  və  A  nöqtəsindən  keçən  gümüş  zolaq 
əmələ  gətirirlər. Silindrlərin radiusu  r  və  R  olarsa,  yarıqdan 

 
sürəti ilə çıxan atomlar (R-r) məsafəsini 

r
R
t


 
müddətinə gedirlər. Bu müddəti tapmaq üçün silindrləri onların 
simmetriya  oxu  ətrafında 

  bucaq  sürəti  ilə  fırladırlar.  Onda 
gümüş  atomları  B  nöqtəsindən  keçən  zolaq  əmələ  gətirirlər, 
çünki a yarığından çıxan atomlar xarici silindrin səthinə çatana 
qədər 
bu 
silindr 
S
AB



 qövsü 
qədər 
dönəcəkdir. 
)
(
)
(
r
R
t
r
R
S







 olduğundan 
)
(
r
R
S
t




 
olur.  Axırıncı  düsturların  bərabərliyindən  gümüş  atomlarının 
sürəti üçün 
S
r
R

2
)
(




                              (15.2) 
alınır.  Ştern  silindrlərin  radiusunu,  onların  bucaq  sürətini  və 
qövs  yerdəyişməsini  ölçərək  (15.2)  düsturu  ilə  gümüş 
atomlarının  sürətini  tapmışdır.  Zolağın  eni  göstərir  ki,  a 
yarığından müxtəlif sürətli atomlar çıxır. Bundan əlavə, zolağın 
orta  hissəsində  gümüşün  miqdarı  daha  çox  olur,  kənarlara 
getdikcə  azalır.  Bu  isə  gümüş  atomlarının  sürətlərə  görə 
paylanmasını  göstərir.  Bu  məqsədlə  aparılmış  təcrübələr  atom 
və  molekulların  sürətlərə  görə  Maksvell  paylanmasının 
doğruluğunu təsdiq edir.