Mulohazalar algebrasi. Mulohazalar ustida amallar

5.2-teorema. Agar bo’lsa, u holda dir.
Isbot. 5.1-teoremaga asosan

yoki
(5.4)
Teng kuchli bo’lish ta’rifiga ko’ra va propozitsional o’zgaruvchilar qiymatlarining barcha tanlanmalarida bir xil qiymatga ega bo’lganliklari uchun
ham o’rinlidir. U holda
(5.5)
(5.5) va (5.6) dan ekanligi kelib chiqadi.
5.3-ta’rif.Agar formula uchun o’rinli bo’lsa, u holda bunday formulaga o’z-o’ziga qo’shma formulasi deyiladi.
5.3-misol. formula o’z-o’ziga qo’shmadir. Xaqiqatan, bu formulaning qo’shmasi

formuladir. Unga teng kuchli shakl almashtirishlarni qo’llasak,

Biz yuqorida mulohazalar to’plami da 16 binar mantiqiy amalni aniqlash mumkin ekanligini ko’rdik. Bundan tashqari, bu to’plamda ikkita unar mantiqiy amal ham aniqlandi: bularning biri berilgan formulaga uning inkori ni mos keltirsa, ikkinchisi esa ga uning qo’shmasi ni mos qo’yadi.
mantiqiy amallarning ixtiyoriy sistemasi bo’lsin.
5.4-ta’rif. Agar mulohazalar algebrasining har qanday formulasi tarkibiga faqat sistemasining amallari kiruvchi qandaydir formulaga teng kuchli bo’lsa, u holda sistema amallarining to’liq sistemasi deyiladi.
5.3-teorema. Ushbu

sistemalarning har biri to’liqdir. (bunda va larga kirgan amallar ,,Sheffer shtrixi’’ va ,,Pirs strelka’’ laridir).
Isbot. 4.3-teoremaga asosan mulohazalar har qanday formulasini yo o’zi keltirgan formula (ya’ni tarkibiga faqatgina amallar kirgan formula) yoki uni tengkuchli shakl almashtirishlar yordamida keltirilgan formula ko’rinishiga keltirish mumkin. Demak, sistema to’liq ekan. De Morgan tengkuchliligi dan ni hosil qilamiz. Dizyunksiyani konyuksiya va inkor orqali ifodalash mumkinligi hamda to’liq sistema ekanligidan ham amallarning to’liq sistemasi ekanligi kelib chiqadi.
sistemaning ham to’liqligi xuddi shu tarzda ko’rsatiladi. Endi sistemaning to’liqligini ko’rsatamiz.

1 0	0 1	0 1

ekanligini ushbu jadvaldan ko’rish qiyin emas.
ning aniqlanishi bo’yicha edi. Bunda esa hosil bo’ladi. Inkorni ,,Sheffer shtrixi’’ bilan almashtirsak, va nihoyat ni hosil qilamiz. to’liq sistema bo’lganligi sababli sistema ham to’liq ekanligi kelib chiqadi. va sistemalarning to’liq ekanligini ko’rsatishni o’quvchiga havola qilamiz.
Binar mantiqiy amallar jadvalidagi amal qisqacha ko’rinishida belgilanadi va 2 moduli bo’yicha ,,qo’shish’’ deb ataladi. Bu amal uchun o’rinli ekanligi ravshandir.
Xuddi shu jadvaldagi amal konstanta deyiladi va qisqacha 1 ko’rinishida belgilanadi.