Mulohazalar hisobining simvollari
Download 0.54 Mb. Pdf ko'rish
|
Mulohazalar hisobi formulasi(5)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mulohazalar hisobida
- Ikkinchi kategoriya simvollari
- Uchinchi kategoriyaga
- 1- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi formulasi
- 2- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi qismiy formulasi
- Isbotlanuvchi formula tushunchasi.
- Ikkinchi guruh aksiomalari
- Uchinchi guruh aksiomalari
- To‘rtinchi guruh aksiomalari
- 2- t a ’ r i f .
- Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari
- Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi. T a ’ r i f .
- Murakkab xulosa qoidasi.
- Sillogizm
|
Mulohazalar hisobi formulasi Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Simvollar. Formula. Qismiy formula. Isbotlanuvchi formula. Aksioma. Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsifi bu hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta‟rifidan iborat.
qilinadi. Birinchi kategoriya simvollari: ,...
, ,...,
, , 2 1 x x z y x . Bu simvollarni o„zgaruvchilar deb ataymiz. Ikkinchi kategoriya simvollari: , , , . Bular mantiqiy bog‘lovchilardir. Birinchisi – diz‟yunksiya yoki mantiqiy qo„shish belgisi, ikkinchisi – kon‟yunksiya yoki mantiqiy ko„paytma belgisi, uchinchisi – implikasiya belgisi va to„rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi.
Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo„q. Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalar hisobining formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muayyan ketma- ketligiga aytiladi. Formulalarni belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi. Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo„lib xizmat qiladi. Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta‟rifini keltiramiz. 1- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi: 1) har qanday ,...
, ,
y x o‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir; 2) agar A va B ning har biri formula bo‘lsa, u holda ) ( B A
) (
A
) (
A
A ham formuladir. 3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi. O„zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz. 1- m i s o l . Formula ta‟rifining 1) bandiga ko„ra ,...
, ,
y x o„zgaruvchilarning har biri formula bo„ladi. U vaqtda ta‟rifning 2) bandiga muvofiq ) ( y x , ) (
x , ) (
x , x ham formulalardir. Xuddi shu kabi ) (
x , )) ) (( z y x , )) ( ) ((
y y x ham formulalar bo„ladi.
Quyidagilar formula bo„la olmaydi: y x ,
,
x ( , y x , x y x ) ( . ■ 2- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi qismiy formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi: 1) elementar formula uchun faqat uning o‘zi qismiy formuladir; 2) agar A formula bo‘lsa, u holda shu formulaning o‘zi, A formula va A formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi; 3) agar formula B A* ko‘rinishda bo‘lsa (bu yerda va bundan keyin *
o‘rnida
formulaning o‘zi, A va B formulalar hamda A va B formulalarning barcha qismiy formulalari B A* formulaning qismiy formulalari bo‘ladi. 2- m i s o l . )) ( ) ((
z y x formula uchun: )) (
(( y z y x – nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula, ) (
x , ) (
z – birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar, x ,
, )
y z – ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar, y ,
– uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
– to„rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo„ladi. ■ Formulalarni yozishda ayrim soddalashtirishlarni qabul qilamiz. Xuddi mulohazalar algebrasidagi kabi qavslar haqidagi kelishuv va mantiqiy amallarni bajarish imtiyozlari (III bobdagi 2- paragrafga qarang) bu yerda ham o„rinli deb hisoblaymiz. Bu kelishuv va imtiyozlarga binoan, masalan, ) )
z y x , ) ( y x va )) ( ) (( t z y x formulalarni mos ravishda z y x , y x va t z y x
ko„rinishda yozish mumkin. Isbotlanuvchi formula tushunchasi. Endi
mulohazalar hisobida isbotlanuvchi formulalar sinfini o„rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchaqsiga ham formula tushunchasi ta‟rifiga o„xshash ta‟rif beriladi. Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa
keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali mavjud isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi. Dastlabki isbotlanuvchi formulalardan keltirib chiqarish qoidasini qo„llash yo„li bilan yangi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish shu formulalarni aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi. Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi. Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo„lib, ular to„rt guruhga bo„linadi. Birinchi guruh aksiomalari: I 1 ) (
y x . I 2 )) ( ) (( )) ( (
x y x z y x .
II 1
x y x . II 2 y y x . II 3 )) ( ) (( ) ( y x z y z x z .
III 1
y x x . III
2
x y . III
3
)) ( ) (( ) (
y x z y z x .
IV 1
( ) ( x y y x . IV 2
x . IV 3
x x . Keltirib chiqarish qoidalari Keltirib chiqarish. O‘rniga qo‘yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi. Isbotlash. Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb ataluvchi o„rniga qo„yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi.
mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulasi,
o„zgaruvchi, B mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo„lsa, u holda
formula ifodasidagi hamma x lar o„rniga B formulani qo„yish natijasida hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo„ladi.
formuladagi hamma x o„zgaruvchilar o„rniga B formulani qo„yish operasiyasini (jarayonini) o‘rniga qo‘yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagicha belgilaymiz 1 :
B x A) ( . O„rniga qo„yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz: a) agar
A faqat
x o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u holda
( o„rniga qo„yish B formulani beradi; b) agar
formula x dan farqli y o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u vaqtda
( o„rniga qo„yish A ni beradi; d) agar
o„rniga qo„yish aniqlangan formula bo„lsa, u holda A formuladagi x o„rniga B formulani qo„yish natijasida o„rniga qo„yishning inkori kelib chiqadi, ya‟ni
x A) ( o„rniga qo„yish B x A) ( ni beradi. e) agar 1
va 2
formulalarda o„rniga qo„yish aniqlangan bo„lsa, u holda B x A A ) ( 2 1 o„rniga qo„yish B x B x A A ) ( ) ( 2 1 ni beradi.
1 Bu yerda matematik analizdagi integral belgisi ishlatilsada, uning ma‟nosi o„zgacha. Agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda uni A shaklda yozishga kelishamiz. U holda o„rniga qo„yish qoidasini quyidagicha sxematik ravishda ifodalash mumkin:
x A A ) ( va uni “agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda
( ham isbotlanuvchi formula bo„ladi” deb o„qiladi. Xulosa qoidasi. Agar A va
B A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulalari bo„lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. Bu qoida xulosa qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi: B B A A ; . 1- t a ’ r i f (isbotlanuvchi formula ta’rifi). a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir; b) isbotlanuvchi formuladagi x o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy B formulani qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi; d) A va B A
natijasida olingan B formula isbotlanuvchi formuladir; e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula emas. 2- t a ’ r i f . Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish protsessi (jarayoni) isbot qilish (isbotlash) deb ataladi. 1- m i s o l . A A bo„lishini (implikasiyaning refleksivligini) isbotlaymiz. Buning uchun I 2 aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda ) ( 2 x z I o„rniga qo„yishni bajarish natijasida
)) ( ) (( )) ( ( x x y x x y x (1) kelib chiqadi. I 2 aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo„llab ) ( ) ( x x y x
(2) formulani hosil qilamiz. (2) formulaga nisbatan
x y ) 2 (
o„rniga qo„yishni bajarish natijasida ) ( ) ( x x x x
(3) isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz. IV 2
x x (4)
isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o„zgaruvchi o„rniga A formulani qo„ysak A A isbotlanishi kerak bo„lgan formula hosil bo„ladi. ■ 2- m i s o l . y x y x ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, II 3
aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o„rniga qo„yish usulini qo„llaymiz: avval x ni
x ga va keyin y ni
y ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz )) ( ) (( ) ( y x z y z x z . (5) (5) formulaga nisbatan
x z ) 5 ( o„rniga qo„yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz: )) (
(( ) ) (( y x y x y y x x y x . Endi x y x , (6)
y y x (7)
formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun IV 1 aksiomaga nisbatan
y x y ) IV ( 1
o„rniga qo„yishni bajaramiz. Natijada ) ( ) (
y x y x x
(8) formulaga ega bo„lamiz. (8) formula va III 1 aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini ishlatib, (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko„rsatish mumkin. (6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo„llasak, ) (
( y x y x y y x
(9) isbotlanuvchi formula kelib chiqadi. (7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo„llab, berilgan
formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz. ■
Formula. Hosilaviy qoidalar. Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish, murakkab xulosa, sillogizm, kontrpozisiya, ikki karralik inkorni tushirish qoidalari. O„rniga qo„yish va xulosa qoidalari singari keltirib chiqarish qoidasining hosilalari ham yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilishga imkon yaratadi.
) ,..., , ( 2 1 n x x x A – isbotlanuvchi formula va n B B B ,...,
, 2 1 mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulalari bo‘lsa, u holda A formulaning n x x x ,...,
, 2 1 o‘zgaruvchilari o‘rniga bir vaqtda mos ravishda n B B B ,...,
, 2 1 formulalarni qo‘yish natijasida C isbotlanuvchi formulani hosil qilish bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi deb ataladi. n z z z ,...,
, 2 1 o„zgaruvchilar n B B B A ,...,
, , 2 1 formulalardagi boshqa o„zgaruvchilardan farq qiluvchi o„zgaruvchilar va j i z z ( n j i , 1 , ) bo„lsin. U holda A formulaga n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket bajaramiz: avval 1
o„rniga 1
ni,
keyin 2
o„rniga 2
ni va hokazo
o„rniga n z ni qo„yamiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulalarga ega bo„lamiz: 1 1 ) ( z x A o„rniga qo„yish 1
ni, 2 2 ) ( 1 z x A
o„rniga qo„yish 2 A ni, va hokazo n n z x n A ) ( 1 o„rniga qo„yish n A ni beradi. Bundan keyin n A formulaga nisbatan yana n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket bajaramiz: avval 1
o„rniga 1
ni, keyin 2
o„rniga 2
ni va hokazo
o„rniga n B ni
qo„yib chiqamiz. Buning natijasida 1 1 ) ( B z n A o„rniga qo„yishdan 1
ni, 2 2 ) ( 1 B z C
o„rniga qo„yishdan 2 C ni va hokazo n n B z n C ) ( 1 o„rniga qo„yishdan n C ni hosil qilamiz. Demak, n C isbotlanuvchi formula A formuladagi n x x x ,...,
, 2 1 o„zgaruvchilar o„rniga bir vaqtda mos ravishda n B B B ,...,
, 2 1 formulalarni qo„yish natijasida hosil bo„ladi. Bir vaqtda o„rniga qo„yish operasiyasini (qoidasini) quyidagicha ifodalaymiz n n B B B x x x A A ,...,
, ,...,
, 2 1 2 1 ) ( .
(1) Murakkab xulosa qoidasi. Bu qoidada )...)))
(...( ( ( 3 2 1 L A A A A n ko„rinishdagi formulalarga nisbatan ikkinchi hosilaviy qoida ishlatiladi va uni quyidagi tasdiq orqali izohlash mumkin.
,...,
, 2 1 va )...)))
(...( ( ( 3 2 1 L A A A A n
(2) isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda L ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. I s b o t i . Xulosa qoidasini ketma-ket qo„llaymiz. Agar 1
va (2) isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda xulosa qoidasiga asosan )...)) (...(
( 3 2 L A A A n
(3) ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. 2
va (3) isbotlanuvchi formula bo„lganligi uchun
)...) (...(
3 L A A n
(4) formula ham isbotlanuvchi bo„ladi. Muhokamani xuddi shunday davom ettirib, natijada L isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ■ Murakkab xulosa qoidasini sxematik ravishda quyidagicha yozish mumkin:
)...)))
(...( ( ( , ,...,
, 3 2 1 2 1 .
(5) Sillogizm 2
2- t e o r e m a . Agar B A
C B
holda C A
I s b o t i . Teoremani sxematik ravishda quyidagicha yozamiz C A C B B A , .
(6) I 1 va I 2 aksiomalarga nisbatan C B A z y x , , , , 2 ) I ( va A C B y x , , 1 ) I (
bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llash natijasida quyidagi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz: )) ( ) (( )) ( C A B A C B A ,
(7) )) ( ( ) (
B A C B .
(8) Teoremaning shartiga asosan B A ,
(9) C B
(10)
formulalar isbotlanuvchidir. (10) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ) (
B A
(11)
formulani hosil qilamiz. U vaqtda (11), (9) va (7) formulalardan murakkab xulosa qoidasiga asosan C A ekanligi kelib chiqadi. ■
2 Bu so„z negizida yunoncha συλλογισμός (syllogismos) so„zi yotadi, u mantiqan kelib chiqish ma‟nosini beradi. Agar B A va C B isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda C A ham isbotlanuvchi formula bo„lishini sillogizm qoidasi deb ataymiz. 4.3.4. Kontrpozisiya qoidasi. 3- t e o r e m a . Agar B A
A B
ham isbotlanuvchi formula, ya’ni A B B A
(12) bo„ladi. I s b o t i . IV 1 aksiomaga nisbatan B A y x , , 1 ) IV (
bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidasini qo„llab, ) ( ) ( A B B A
(13)
isbotlanuvchi formulani hosil qilamiz. Teoremaning shartiga asosan B A
(14) isbotlanuvchi formuladir. Shuning uchun (14) va (13) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ) ( A B isbotlanuvchi formula ekanligi kelib chiqadi. ■ Agar
B A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda A B ham isbotlanuvchi formula bo„lishini kontrpozisiya qoidasi deb ataymiz. Ikki karralik inkorni tushirish qoidasi. 4- t e o r e m a . 1) Agar B A
B A
ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi; 2) Agar B A
B A
isbotlanuvchi formula, ya’ni B A B A
B A B A
(15) bo‘ladi. I s b o t i . IV 2 va IV 3 aksiomalarga nisbatan A x ) IV ( 2 va B x ) IV ( 3
o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llab, A A ,
(16)
B B
(17)
isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz. Teoremaning 1) va 2) shartlariga asosan B A ,
(18)
B A
(19)
formulalar isbotlanuvchidir. Agar teoremaning 1) sharti bajarilsa, u holda (17) va (18) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan B A kelib chiqadi. Agar 2) sharti bajarilsa, u holda (16) va (19) formulalardan B A kelib chiqadi. ■ Agar
B A ( B A ) isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda B A ham isbotlanuvchi formula bo„lishini ikki karralik inkorni tushirish qoidasi deb ataymiz.
aniqlang: a)
) ( ) ( 2 1 2 1
p p p ; b)
3 2 1 2 1 )) ( ) (( p p p p p ; d) 3 3 2 1 )) ( ( p p p p ; e) ) ( ) ( ( 1 2 2 1 p p p p ; f) ) ) (( ) ( 1 2 1 2 1
p p p p ; g) )) ) (( ) (( ) ( 3 2 1 3 2 3 1 p p p p p p p ; h) )) ( ( )) ( ) (( 3 2 1 3 1 2 1
p p p p p p ; i) ) ( )) ( ) (( 2 1 2 1 2 1 p p p p p p . 2. Quyidagi formulalarning hamma qismiy formulalarini toping: a)
) (
x y x ; b) ) ( ) ( y x y x ; d) ) ( x y x ; e)
c b a ; f)
b c a ; g)
z y x ; h)
x yz x ; i)
y x y x ; j) ) ( )) ( ) (( z x z y x x ; k)
) ) (( ) (
y x y x . 3. ) ( ) ( 1 A B B A L , B A L 2 va
C B A L 3 formulalar uchun quyidagi o„rniga qo„yishlarning natijalarini aniqlang: a)
C B B A L , , 1 ) ( ; b)
A A L ) ( 2 ; d)
B B A B C A L , , 3 ) ( ; e)
B A B A B A L , , 1 ) ( ; f)
A B B A L , , 2 ) ( ; g)
C A A C B A L , , , , 3 ) ( . 4. O„rniga qo„yish qoidasini qo„llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsating: a)
) ( ; b)
C B A B A ; d) )) ( ) (( ) ( B C A B C B A ; e) D C D C ; f) )) ( ) (( )) ( ( C B B A C B A C B C B A . 5. O„rniga qo„yish va xulosa qodalarini qo„llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini aniqlang: a)
; b)
A A A ; d) A B B A ; e) A B B A ; f)
) ( ) ( A A B A ; g)
A A
Download 0.54 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|