Mundarija: I. Kirish. II. Asosiy qism

1. Muavr –Laplasning lokal teoremalari.

da ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati tug’iladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog’lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro`y berish ehtimoli bo’lsa u holda bo`ladigan hamma va lar uchun quydagi formula o’rinli bo’ladi.
(1)
Bu yerda
Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo’lgan hol uchun, so`ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan.
Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma`lum bo`lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.
, va
bo’lgani uchun
(2)
Shunga o`xshash dan
, (3)
tenglik o`rinli bo`ladi. (2) va (3) tengliklardan ko`rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi.
Bernulli formulasiga asosan:

Stirling formulasiga asosan:
(4)

Bu yerda va . (2) va (3) larga asosan

Bundan ko`rinadiki (6).
Belgilash kiritamiz:

deb belgilaymiz. U holda (2) va (3) ga asosan:


. (7) yetarlicha katta bo`lganda va larni yetarlicha kichik qilish mumkin? Shuning uchun va larni darajali qatorga yoyish mumkin.
(8)

(9)
(8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:





bo`lgani uchun da
(10)
(2) va (3) larni hisobga olsak,
, (11)
va da
(12)
(6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti kelib chiqadi.
Masalalar yechishda qulaylik tug`dirish uchun

funksiya uchun jadval tuzilgan.
Bu jadval faqat argumentning manfiy bo`lmagan qiymatlari uchun tuzilgan.
juft bo`lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham shu jadvaldan foydalanish mumkin.
Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi:
(13)
Endi oldingi ma`ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan foydalanib yechamiz.
Masala shartiga ko`ra: , , ,
.
; .
Demak, .
Muavr-Laplasning lokal teoremasidan foydalanmasdan o`tkazilgan aniq hisolashlar ekanligini ko`rsatadi.
Taqribiy va aniq qiymat orasidagi farq ni tashkil qiladi. Bu xatolikni inobatga olmaslik mumkin.
Bu xatolikni inobatga olmaslik mumkin.
Faraz qilaylik, bizdan ta bog`lanmagan tajribalarda biror hodisasining kami bilan ko`pi bilan marta ro`y berish ehtimolligini ni topish talab qilinsin.
Bernulli formulasiga asosan:
(14)
Agar lar yetarlicha katta bo`lsa, (14) ifodaning qiymatini hisoblash texnik qiyinchiliklarga olib keladi.
Shuning uchun ham ehtimollik uchun asimptotik formula izlash zaruriyati tug`iladi.
Misоl. Mаlаkаli ustаni а’lо sifаtli mаhsulоt ishlаb chiqаrish ehtimоli 0,75 gа tеng bo’lsа 400 tа ishlаb chiqаrilgаn mаhsulоtlаrdаn 300 tаsini а’lо sifаtli bo’lish ehtimоli tоpilsin.
Еchish. SHаrtgа аsоsаn bundаn

1-ilоvаdаn ni tоpаmiz
.
Bulаrdаn: