Mundarija: I. Kirish. II. Asosiy qism

2. Muavr-Laplasning integral teoremasi.
Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar ta bog’lanmagan tajribalarning har birida biror hodisaning ro’y berish ehtimoli ( ) bo’lsa, da

munosabat va larda ( ) nisabatan tekis bajariladi.
Bu yerda
, , .
Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan va lar chekli bo’lganda

bu yerda
, .
Quyidagi ayirmani qaraymiz:

Bunga asosan

va da
(15)
Endi ni baholaymiz.
.
Bunda da
(16)
ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega bo’lamiz.
Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar yechishda

funksiyaning qiymatini hisoblashga to’g’ri keladi.
funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan.
Jadvalda funksiyaning nol va musbat larga mos qiymatlari keltirilgan.
da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan bo’lgan holda ham foydalanish mumkin.
Jadvalda ning kesmadagi qiymatlari berilgan, agar bo’lsa, u holda deb olinadi.
funksiya orqali ni quyidagicha ifodalash mumkin:

Endi quyidagi masalani yechamiz:
Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning yaroqsiz bo’lish ehtimoli . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping.
; ; ; ; ;
; ; ; ; .
funksiya jadvalidan ;
.
Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha shartlar bajarilgan bo’lsin. Biz nisbiy chastotaning o’zgarmas ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo’yicha oldindan berilgan sondan katta bo’lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya’ni tengsizlikni bajarilish baholaymiz.

Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan

Shunday qilib
(17)
(17) ning ikkala tomonidan da limitga o’tsak,
.
.
Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki Bernulli teoremasi deyiladi.
Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo’lsin. Tangani 100 marta tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi ning ehtimoldan absolyut qiymat bo’yicha farqi dan oshmaslik ehtimolini baholang.
Yechish. Masala shartiga ko’ra , , , .
(17) formulaga asosan
,
chunki .