Mundarija Kirish Asosiy qism Iqtisodiy masalalarning optimal yechimini topishning elementar usullari

1-misol. Grafik usuldan foydalanib chiziqli dasturlash masalasi yechimini toping:



Yechish. nuqtalar tekisligida rejalar to’plami beshburchakdan iborat. chiziqlar oilasi chiziqlaridan biri, masalan to’g’ri chiziq to’plamdan o’tadi. vektor funksiyaning kamayish yo’nalishini ko’rsatadi. to’gri chiziqni vektor bo’yicha to’plamning chegarasiga qadar parallel siljitamiz.
Bu holda to’g’ri chiziq ko’pburchakning nuqtasidan chiqib ketadi. Demak funksiya nuqtada o’zining minimum qiymatiga erishadi: .
2-misol. Chizqli dasturlash masalasini qaraymiz:



Yechish. Rejalar to’plami avvalgi misolda ko’rilgan beshburchakdan iborat.
chiziqlar oilasi chiziqlaridan biri, masalan to’g’ri chiziq to’plamdan o’tadi. vektor funksiyaning kamayish yo’nalishini ko’rsatadi. to’gri chiziqni vektor bo’yicha to’plamning chegarasiga qadar parallel siljitamiz. Bu holda to’g’ri chiziq ko’pburchakning tomonidan chiqib ketadi. Demak funksiya tomon nuqtalari ustida o’zining minimum qiymatiga erishadi. va nuqta koordinalari mos ravishda va bo’lgani uchun har qanday minimum nuqta koordinatasi ko’rnishga ega, bu yerda . Maqsad funksiyaning minimum qiymati .
3-misol. Grafik usuldan foydalanib chiziqli dasturlash masalasi yechimini toping:



Yechish. nuqtalar tekisligida rejalar to’plami chegaralanmagan ko’pburchakdan iborat.
chiziqlar oilasi chiziqlaridan biri, masalan to’g’ri chiziq to’plamdan o’tadi. vektor funksiyaning kamayish yo’nalishini ko’rsatadi. to’gri chiziqni vektor bo’yicha parallel siljitsak hech qachon rejalar to’plamidan chiqib ketmaydi. Demak qaralayotgan chiziqli dasturlash masalasi yechimga ega emas.

Chizqli dasturlash masalasi kanonik ko’rinishda berilgan bo’lsin:

(5) chegaralar sistemasi matritsasi va kengaytirilgan matrisasi

ko’rinishga ega. Agar bu matritsalarning rangi teng bo’lmasa, u holda (5)-(7) chiziqli dasturlash masalasi yechimga ega bo’lmaydi. va matritsalarning rangi ga teng bo’lsin. U holda matritsaning -tartibli biror minori noldan farqli. Aniqlik uchun dastlabki ta satr va dastlabki ta ustundan tuzilgan minori noldan farqli bo’lsin. Agar bo’sa (6) sistemaning qolgan tenglamalarini dastlabki tasi orqali ifodalanadi va ularni tashlab yuborish mumkin. Shuning uchun deb hisoblaymiz. U holda (6) chegaralar sistemasida o’zgaruvchilarni bazis o’zgaruvchilar qolgan o’zgaruvchilarni erkli o’zgaruvchilar deb ataymiz.
Agar bo’lsa (5)-(7) chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish mumkin. Buning uchun (6) sistemani bazis o’zgaruvchilarga nisbatan yechamiz:

larning nomanfiylik shartlari

ko’rinishni oladi. (4)maqsad funksiyada o’zgaruvchilar o’rniga (8) dagi ifodasini qo’yamiz:

Shunday qilib (5)-(7) chiziqli dasturlash masalasi o’zgaruvchilari iikita bo’lgan quyidagi ko’rinishga keltirildi:



Hosil bo’lgan chiziqli dasturlash masalasini grafik usuldan foydalanib yechish mumkin.
4-misol. Grafik usuldan foydalanib kanonik ko’rinishda berilgan chiziqli dasturlash masalasi yechimini toping:



Yechish. Chegaralar sistemasining matritsasi quydagi ko’rinishga ega:

Bu matritsaning dastlabki 4 ta satr va 4 ta ustunidan tuzilgan minorning qiymati noldan farqli, aniqrog’I 1 ga teng. Shuning uchun uning va kengaytirilgan matritsaning rangi 4 ga teng bo’lib erkli o’zgaruvchilar soni 2 ga teng. Demak qaralayotgan chiziqli daturlash masalasini grafik usulda yechish mumkin.
Chegaralar sistemasini bazis o’sgaruvchilarga nisbatan yechamiz:

Bazis o’zgaruvchilarni qiymatlarini maqsad funksiyaga keltirib qo’yamiz:

(9) ga ko’ra o’zgaruvchilarning nomanfiylik sharti

ko’rinishni o’ladi. Shunday qilib qaralayotgan chiziqli dasturlash masalsi quyidagi ikki o’zgaruvchili masalani yechishga keltirildi:



nuqtalar tekisligida bu masalaning rejalar to’plami beshburchakdan iborat.
chiziqlar oilasi chizqlaridan biri, masalan to’g’ri chiziq to’plamdan o’tadi. vektor funksiyaning kamayish yo’nalishini ko’rsatadi. to’gri chiziqni vektor bo’yicha to’plamning chegarasiga qadar parallel siljitamiz. Bu holda to’g’ri chiziq ko’pburchakning nuqtasidan chiqib ketadi. (9) da qiymatlarni qo’yib larni topamiz. Demak .


Xulosa
Hozirgi kunda matematika fani kundalik hayotimizga eng koʻp tatbiq qilinayotgan fanlardan biri hisoblanadi. Koʻplab muammolar matematik usullar yordamida osonlik bilan hal qilinmoqda. Bugungi kunda eng muhim sohalardan biri boʻlgan IT dasturlashning ham asosida matematika fani turgani hech kimga sir emas. Shu kabi sohalar qatori iqtisodiyot sohasida ham matematikadan keng foydalaniladi. Ushbu kurs ishida bunga misol tariqasida bir qancha iqtisodiy masalalarni chiziqli dasturlash masalasiga keltirib yechish yoʻllari tushuntirildi. Murakkab koʻringan ayrim masalalar matematikaga tatbiq qilinganda juda sodda masalaga aylanib qolishi amalda koʻrsatildi. Demak xulosa qilib aytganda koʻplab sohalar qatori iqtisodiyot sohasida ham matematikadan foydalanish orqali murakkab masalalar hal qilinar ekan.