Mundarija. Kirish Asosiy qism

Tenglamaning biror bir qismini ayniy shakl almashtirish.
(Bir xil ifodani qo‘shish yoki ayirish).
3-misol. cos7 x = cos³ x tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning chap qismini shakl almashtiramiz.
(cos7x - cos5x) + (cos5x - cos3x) + (cos3x - cosx) + cosx = cos³ x;
— 2sin6xsinx — 2sin4xsinx — 2sin2xsinx + cosx = cos³ x;
-2sinx (sin6x + sin4x + sin2x) = cosx(cos² x-1);
-2sinx (2sin4xcos2x + sin4x) + sin² xcosx = 0;
8sin² xcosxcos2x (2cos2x +1) - sin² xcosx = 0; bundan sin² x cos x = 0,
u holda
yoki
Bu tengliklardan foydalanish tenglamaning aniqlanish sohasining kengayishiga olib keladi.
Agar bo‘lsa, bunda .
4-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi tengsizliklar bilan aniqlanadi.
Proporsiya xossasiga ko‘ra



Trigonometrik tenglamalarni yechishda matematik tahlil elementlaridan
foydalanish.
I. Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.
Ba’zi hollarda tenglamaning aniqlanish sohasini bilish tenglamaning ildizi yo‘qligini isbotlashni, ba’zida esa tenglamaning yechimini aniqlanish sohasidan son qo‘yib ko‘rib topishni taqozo qiladi.
1-misol. (1) tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi

dan iborat. Bundan ning bu qiymatini (1) tenglamaga qo‘yib uning o‘ng va chap tomonlari 0 ga tengligini ^ramiz. Demak, hamma lar
tenglamaning ildizi Ьо‘Ыг ekan.

II.Funksiyaning chegaralanganlik xossasidan foydalanish.
Tenglamalarni yechishda funksiyaning biror to‘plamda quyidan yoki yuqoridan chegaralanganligi xossasi to‘p hollarda katta rol о‘ynaydi. Masalan, biror M to‘plamdagi barcha x lar uchun (A biror son) tengsizliklar о‘гтН Ьо‘^, u holda
M to‘plamda f (x) = g(x) tenglama yechimga ega emas.
A soni о‘rnida to‘p hollarda nol Ьо‘М^ bu esa va g(x) funksiyalarning M to‘plamda ishorasi saqlanishini bildiradi.
2-misol. sin( x³ + 2 x² +1) = x² + 2 x + 3 tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy x haqiqiy soni uchun .
Bundan esa ixtiyoriy x haqiqiy soni uchun tenglamaning chap tomoni 1 dan oshmaydi, tomoni har doim 2 dan kichik emasligini ko'ramiz. Demak, tenglamaning yechimi уo’rta ekan.

3-misol. 2sin x = 5x² + 2 x + 3 tenglamani yeching.
Yechish: Ma'lumki, y = 5x² + 2x + 3 funksiyaning grafigi y = 2sin x funksiyaning grafigidan yuqorida yotadi.U holda sin x
Bundan va 2sin bo'lgani uchun tenglama yechimga ega emas.
J: 0.
4-misol. Tenglamani yeching.
Yechish: Shartga ko'ra .
U holda bo'ladi. Bu erdan yechim x = 0.
J: x=0
5-misol.
(2)
tenglamani yeching.
Yechish: Ko‘rinib turibdiki x = 0, x = 1, x = -1 tenglamaning yechimi bo‘ladi. Uning qolgan yechimlarini topish uchun funksiyaning toqligidan sohadagi yechimini topish yetarli. Agar x₀ uning yechimi bo‘lsa, u holda (-x₀) ham uning yechimi bo‘ladi. to‘plamni 2 ta oraliqqa ajratamiz. (0;1) va (2) tenglamani ko‘rinishda yozamiz. (0;1) oraliqda g(x) = x³ -x funksiya faqat manfiy qiymatlar qabul qiladi. funksiya esa musbat qiymatlar qabul qiladi.
Demak, bu oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.
bo‘lsin. Bu oraliqdagi x ning har bir qiymatida g(x) = x³ - x funksiya musbat, funksiya esa har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. (1;2] oraliqda funksiya musbat emas. Demak, oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.
Agar bo‘lsa, u holda . Bundan
oraliqda ham (2) tenglama yechimga ega emas. Demak, faqat x = 0, x = 1 va x = -1 lar berilgan tenglama yechimidir.
J: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = -1.
6-misol.
(3)
tenglamani yeching.
Yechish: (3) tenglama barcha haqiqiy x lar uchun aniqlangan. Ixtiyoriy x uchun

Natijada (3) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
(4)
(4) sistema 2-tenglamasining yechimi x = 0 va x = -1. Bu qiymatlardan 1-tenglamani faqat x = 0 qanoatlantiradi. Demak, x = 0 berilgan tenglamaning yagona yechimi ekan.
J: 0.
7-misol.