Murakkab funksiyaning hosilasi

2. Teskari funksiyaning hosilasi.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=, f(b)=. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [;] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga y0 orttirma beramiz. U holda x=(y) funksiya biror x=(y+y)-(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan x0, uzluksizligidan esa y0 da x0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra
, demak x_y’=’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
1. y=x^ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi
Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)^-x^=x^(( )^-1) ga teng va bo‘ladi. Ma’lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y’=x^-1 bo‘ladi.
Demak, (x^)’=x^-1 va d(x^)=x^-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))^)’=(u(x))^-1u’(x), d((u(x))^)= (u(x))^-1u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra
y’=3(x²+1)²((x²+1)’=3((x²+1)²2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.