Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar
Download 226.73 Kb.
|
Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar
3. Dalamber alomati.
3-teorema. Agar (3) qatorning (n+1)-hadining n-hadiga nisbati da chekli limitga ega, ya’ni (4) bo‘lsa, u holda 1) da qator yaqinlashadi; 2) da qator uzoqlashadi. Isbot. Teorema shartiga ko‘ra (4) tenglik o‘rinli. Limitning ta’rifiga ko‘ra ixtiyoriy >0 son uchun shunday n0 natural son topilib, barcha n>n0 larda quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: l- < an+1/an < l+ (5) 1) Agar bo‘lsa, u holda shunday >0 son topilib, q=l+<1 bo‘ladi. U holda shu >0 songa mos n0 natural son topilib, barcha n>n0 larda an+1/an < q tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan Endi, |q|<1 da qator yaqinlashishidan = qatorning, demak, qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi. 2) Agar bo‘lsa, u holda shunday > 0 topilib, q =l- > 1 bo‘ladi. (3) munosabatdan barcha n>n0 larda an+1/an > q tengsizlik, yoki an+1>anq tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa biror haddan boshlab qator hadlari o‘suvchi ekanligini anglatadi. Demak, qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Qator uzoqlashuvchi. l=1 bo‘lgan holda bu alomat qatorning yaqinlashuvchi bo‘lish-bo‘lmasligini aniqlash imkonini bermaydi. 4-misol. Qatorni yaqinlashishga tekshiring: Yechish. Ravshanki, , . (4) formuladan quyidagini topamiz: . Demak, qator uzoqlashuvchi. Qatorning yaqinlashishi to‘g‘risida Dalamber alomati asosida xulosa chiqarish mumkin emas. Taqqoslash alomatiga ko‘ra (masalan, garmonik qator bilan taqqoslang), qatorning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rish mumkin.
4-teorema. Agar (6) musbat hadli qator uchun
chekli limit mavjud bo‘lsa, u holda p<1 da berilgan qator yaqinlashuvchi, p>1 da esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Isboti. Aytaylik p<1 bo‘lsin. Ushbu p<q<1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror q sonni tanlaymiz. U holda bo‘lganligi sababli n=k nomerdan boshlab, yoki tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa (7) munosabatlar o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 0<q<1 bo‘lganligi sababli, (8) geometrik qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Qaralayotgan (6) qatorning k-hadidan boshlab barcha hadlari ((7) munosabatga ko‘ra) (8) qatorning mos hadlaridan kichik. Demak taqqoslash alomatiga ko‘ra (6) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Endi p>1 bo‘lsin. U holda bo‘lganligi sababli, biror n=k nomerdan boshlab bo‘ladi. Bundan . Demak (6) qatorning umumiy hadi da nolga intilmaydi, ya’ni (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 1-izoh. Agar bo‘lganda (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda ham biror k nomerdan boshlab bo‘ladi. 2-izoh. mavjud bo‘lmagan yoki mavjud va 1 ga teng bo‘lgan holda, Koshi alomati qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi haqidagi masalaga javob bermaydi. Haqiqatdan ham, masalan qator yaqinlashuvchi, lekin . 1+1+ 1+…+1… qator uzoqlashuvchi, lekin bu qator uchun . 5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. . Qator uzoqlashuvchi. 1>1>1>1>1>1> Download 226.73 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling