Mustaqil ish №1 chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini (Chats) kvadrat ildizlar usulida yechish

^{MUSTAQIL ISH} №1
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI (ChATS) KVADRAT ILDIZLAR USULIDA YECHISH.

Aytaylik
𝑎₁₁ ∙ 𝑥₁ + 𝑎₁₂ ∙ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛 ∙ 𝑥_𝑛 = 𝑏_1
{ 𝑎₂₁ ∙ 𝑥₁ + 𝑎₂₂ ∙ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛 ∙ 𝑥_𝑛 = 𝑏₂
… … … … … … … … … … … … … … … … . .
𝑎_𝑛1 ∙ 𝑥₁ + 𝑎_𝑛2 ∙ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛 ∙ 𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛

(1)

ChATS ni yechish talab qilingan boʻlsin, quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

𝑎₁₁ … … 𝑎_1𝑛
𝑥₁
𝑏₁

𝐴 = ( ^{… … … … …} ), 𝑋 = (^… ), 𝐵 = (^… ) (2)

𝑎_𝑛1 … … 𝑎_𝑛𝑛
u holda (1) ni quyidagicha
𝑥_𝑛
𝑏_𝑛

A*X=B (3)
matritsa koʻrinishda yozish mumkin.
ChATS ni yechishning kvadrat ildizlar usuli - aniq usul hisoblanadi. Ushbu usulni qoʻllash uchun A matritsa determinanti det(𝐴) ≠ 0 va simmetriklik shartlari bajarilishi lozim (𝑎_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛). Formulalar boʻyicha hisoblash jarayonida kompleks sonlar hosil boʻlishi mumkin, buni oldini olish uchun A matrisadan yana bir shart musbat aniqlanganlik shartini talab qilamiz. Matritsa musbat aniqlangan hisoblanadi, agar barcha bosh minorlar musbat boʻlsa.

∆ = 𝑎

> 0, ∆

_{= |}^𝑎11
^𝑎12| > 0, ∆
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{= |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23 ^{| > 0, …………….}

1 11
^{2 𝑎}21 ^𝑎22
3
^𝑎31
^𝑎32
^𝑎33

Kvadrat ildizlar usulini qoʻllashga asos boʻlib quyidagicha teorema hisoblanadi.
Teorema: Aytaylik AX=B sistema kvadrat ildizlar usuli qoʻllanilishi shartlarini bajarsin, u holda shunday S yuqori uchburchak matritsa mavjudki
𝑆^𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 (4)
boʻladi.
Bunday holda boshlangʻich (3) sistemani
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ ⁽𝑆^𝑇 ∙ 𝑆⁾ ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝑆^𝑇 ∙ (𝑆 ∙ 𝑋) = 𝐵 koʻrinishda yozish mumkin. Agar 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilash kiritsak, u holda X yechimni topish algoritmi quyidagicha koʻrinishni oladi:

1. 
   𝑆^𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 tenglamadan S-matritsa elementlarini topamiz.
   

2. 
   𝑆^𝑇 ∙ 𝑌 = 𝐵 tenglamadan Y-ustun matritsa (vector) elementlarini topamiz.
   
3. 
   𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 tenglamadan esa X-ustun matritsa, yaʼni yechimni topamiz.
   

Yuqorida keltirilgan algoritmda faqatgina birinchi bosqich koʻp mehnat talab qiladi. Masalan A matritsa 4 × 4 matritsa boʻlsa, u holda S matritsani topish formulalarini keltiramiz, keyin umumiy holga oʻtamiz:

^𝑠11 ^𝑠12
^𝑠13
^𝑠14
^𝑠11 ^{0 0} 0

𝑆 = ( ^0
𝑠22
^𝑠23
^𝑠24) , 𝑆^𝑇 = ( ^𝑠21
𝑠22
^{0 0} ) ⟹ 𝑆^𝑇 ∗ 𝑆 = 𝐴 ⟹

0 0 ^𝑠₃₃
^𝑠34
^𝑠31 ^𝑠₃₂
^𝑠33 ⁰

0 0 ₀
^𝑠44
^𝑠41
^𝑠42
^𝑠₄₃ ^𝑠44

^𝑠11 ^{0 0} 0
^𝑠11 ^𝑠12
^𝑠13
^𝑠14
^𝑎11 ^𝑎12
^𝑎13
^𝑎14

₍ ^𝑠21
^𝑠22
^{0 0} ) ∗ ( ^0
𝑠22
^𝑠23
^𝑠24_{) =}
^𝑎21
^𝑎22
^𝑎23
^𝑎24_{) ⟹}

^𝑠31 ^𝑠₃₂
^𝑠33 ⁰
0 0 ^𝑠₃₃
^𝑠34
^{( 𝑎}31
^𝑎32
^𝑎33
^𝑎34

^𝑠41
^𝑠42
^𝑠₄₃ ^𝑠44
0 0 ₀
^𝑠44
^𝑎41
^𝑎42
^𝑎43
^𝑎44

^𝑠11
^{= √𝑎}11
, 𝑠_1𝑖
= ^𝑎1𝑖
^𝑠11
, 𝑖 = 2, … , 𝑛 va hokazo. Aytaylik S matritsaning (i-1) ta

qator elementlarini topilgan boʻlsa, u holda quyidagicha umumiy formulalarga ega boʻlamiz, :

𝑠 = ^√𝑎
_{− ∑}𝑖−1 _𝑠2
, 𝑠
= ¹ (𝑎

_{− ∑}𝑖−1 _𝑠
∗ 𝑠
_{) , 𝑖 = 2}̅̅̅_,̅̅_𝑛̅ _{, 𝑗 = 𝑖}̅̅₊̅̅̅₁̅̅_,̅_𝑛̅

𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑖𝑗
^𝑆𝑖𝑖
𝑖𝑗
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑘𝑗

10 ta tenglamaga ega boʻldik. Bir qarashda masalani yanada mukamallashtirgandekmiz, lekin hosil boʻlgan Sistema juda oson yechiladi. 1- tenglamadan 𝑠₁₁ ni, 2- tenglamadan 𝑠₁₂ ni, ….. topib borilaveradi va natijada qidirilayotgan matrisaning barcha elementlari topiladi.
Ushbu usulni simmetrik boʻlmagan va musbat aniqlanmagan A matritsali ChATS uchun ham qoʻllash mumkin. Buning uchun usulni qoʻllashdan oldin (3) ChATS ni chapdan 𝐴^𝑇 matritsaga koʻpaytirish kifoya
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝐴^𝑇 ∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴^𝑇 ∙ 𝐵 natijada (3) ga ekvivalent boʻlgan sistemaga ega boʻlamiz:
𝐴^̅ ∙ 𝑋 = 𝐵^̅ (5)
bunda 𝐴^̅ = 𝐴^𝑇 ∙ 𝐴, 𝐵^̅ = 𝐴^𝑇 ∙ 𝐵 boʻlib, 𝐴^̅ – matritsa simmetrik va musbat aniqlangan boʻladi, natijada kvadrat ildiz usulidan foydalansak boʻladi. (3) dan (5) ga oʻtish sistemani simmetrizatsiyalash deyiladi.
Natija 1. A matritsa determinanti
𝑑𝑒𝑡⁽𝐴⁾ = 𝑑𝑒𝑡⁽𝑆^𝑇 ∙ 𝑆⁾ =
= 𝑑𝑒𝑡 𝑆^𝑇 ∙ det⁽𝑆⁾ = (𝑆₁₁ ∙ 𝑆₂₂ ∙ … ∙ 𝑆_𝑛𝑛) ∙ (𝑆₁₁ ∙ 𝑆₂₂ ∙ … ∙ 𝑆_𝑛𝑛) =
= 𝑆² ∙ 𝑆² ∙ … ∙ 𝑆² > 0
11 22 𝑛𝑛

boʻladi.
Natija 2. A matritsaning teskarisi 𝐴⁻¹ matritsani topish uchun, 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒_𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish lozim edi, bunda 𝑒_𝑖 lar birlik ortalar (i-qatorda 1, qolgan qatorlarda 0 lar turgan ustun matritsa). Aytaylik A matritsa uchun S matritsa topilgan boʻlsin, u holda
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒_𝑖 ⟹ 𝑆^𝑇 ∙ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑒_𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilasak, u holda
𝑆^𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒_𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 formulalariga ega boʻlamiz va 𝑖 = 1, … , 𝑛
boʻlganda A^-1 matritsaning 1,…,n ustunidagi sonlarni topamiz.
Masalan: 𝐴 = (^{4 2}), boʻlsin 𝐴⁻¹−? Kvadrat ildiz usulida topilsin.
2 2

S – matritsani aniqlaymiz: S=(^{𝑠11 𝑠12}) ⟹ 𝑠
= _√𝑎 = 2

_{0 𝑠22} 11
𝑠 = ^𝑎12 = ² = 1, 𝑠 = ^√𝑎

11

− 𝑠² = ^√2 − 1² = 1

12 _{𝑠11 2}
^{22 22} 12

𝑆 = (^{2 1}) ⟹ 𝑆^𝑇 = ^{2 0})

1

1
0 1 ⁽
2 0 ^𝑦1 1

1_⁄2

𝑆^𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒₁ ⟹ (
1 1^{) ∙ (𝑦}2
) = (
) ⟹ 𝑌 = ( ) ₀ −1_⁄2

(
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ ^{2 1}
) ∙ (^𝑥1

) = (

1/2

) ⟹ 𝑋 = (
1_⁄

2
)

𝑥
0 1 2
−1/2
−1_⁄2

𝑆^𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒₂ ⟹
2 0 ^𝑦1

(

)

∙

1
( _{1 𝑦2})
= (⁰)
1
⟹ 𝑌 = ⁰

(

)
1

𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ (^{2 1}) ∙ (^𝑥1) = (⁰) ⟹ 𝑋 = (−1^⁄2)
0 1 ^𝑥2 1 ₁
u holda 𝐴⁻¹ = ( ^{1/2 −1/2}) boʻladi.
−1/2 1

Misol.
		9𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3	9	3	4	3
	{	3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1	^⟹^𝐴^= (3	2	1^)^,	^𝐵^=^(1 ^)
		4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −1	4	1	2	−1

? ? ?
^{A – simmetrik matritsa boʻlgani uchun S=(}0 ? ?^{) -?}
0 0 ?

1. 
   qator elementlarini 𝑠₁₁
   

^{= √𝑎}11
, 𝑠_1𝑖
= ^𝑎1𝑖 , 𝑖 = 2, … , 𝑛 formulalardan topamiz.
^𝑠11

𝑠 = _√𝑎

𝑎₁₂ 3
= √9 = 3, 𝑠 = = = 1, 𝑠

₌ 𝑎_{13 =} 4

11 11
12 _{𝑠11 3}
13 _{𝑠11 3}

2. 
   qator elementlarini quyidagicha formulalar orqali topiladi:
   

𝑠₂₂ = √𝑎₂₂ − ^∑2−1 𝑠² =√𝑎₂₂ − 𝑠² = √2 − 1² = 1
𝑘=1 𝑘𝑖 12

2−1
1
1 4 1

𝑆
𝑠₂₃ =
22
(𝑎₂₃ − ∑ 𝑠_𝑘2 ∗ 𝑠_𝑘3) = ₁ (1 − 1 ∙ ₃) = − ₃
𝑘=1

3−1

4 ² 1 ² 1 1

𝑠₃₃ = ^√𝑎₃₃ − ∑ 𝑠²
= ^√𝑎₃₃ − 𝑠² − 𝑠² = ^√2 − ( )

− (− ) = ^√ =

𝑘=1
𝑘𝑖

13 23
3 3 9 3

3 1 4/3
Natijada S=(^{0 1 −1/3}) ⟹ 𝑆^𝑇 = (
3 0 0
^{1 1 0} )

u holda

0 0 1/3
3 0 0

𝑦₁

4/3 −1/3 1/3
3

^{𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝐵 ⟹ (1 1 0) ∙ (𝑦}2^{) = (} 1
) ⟹ 𝑦 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦
= −7

4 1 1 _𝑦



1 2 3

₃ ⁻ _{3 3} 3 −1
4

3 1
l ³
1
^𝑥1 1

𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹
0 1 −

• 
  ^(𝑥2^{) = (} 0 ^{) ⟹ 𝑥1 = 12, 𝑥2 = −7, 𝑥3 = −21}
  

I
_𝗁0 0
^{3I 𝑥}3 −7
1
₃ )

2

3

det(A)= 𝑆² ∙ 𝑆² ∙ 𝑆² = 3² ∙ 1² ∙ ¹ = 1
11 22 33 ^{( )}

Har bir talabaning variant nomeri LMS dagi potok ro‘yxati bo‘yicha nomeri bilan bir xil. V-variant nomeri. V ning o‘rniga variant nomerizni qo‘yib sizga tegishli bo‘lgan ChATS ni tuzib oling.
𝑉 ∙ 𝑥 − ⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑦 + ⁽𝑉 + 3⁾ ∙ 𝑧 = 4 ∙ 𝑉 + 12
{ ^{(𝑉 + 3) ∙ 𝑥 − 𝑉 ∙ 𝑦 + (𝑉 − 1) ∙ 𝑧 = 7 ∙ 𝑉 − 1}
−⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑥 + ⁽𝑉 + 3⁾ ∙ 𝑦 − 𝑉 ∙ 𝑧 = −𝑉 − 2
Berilgan variant nomeriga mos ChATS uchun quyidagilar aniqlansin:

1. 
   Uch o‘zgaruvchili ChATS uchun kvadrat ildizlar usulida ildiz topilsin – 2 ball
   
2. 
   Uch o‘zgaruvchili ChATS nomaʼlumlari oldidagi koeffitsiyentlardan iborat matrisa determinanti kvadrat ildizlar usulida topilsin– 1 ball
   
3. 
   Ushbu usul dasturi mustaqil ravishda tuzilsin va quyidagicha berilgan 5 o‘zgaruvchili chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi dastur orqali yechilsin:: - 1 ball
   

Dasturga kiritiladigan parametrlar: o‘zgaruvchilar soni, koeffitsiyentlar, ozod hadlar;
Dasturdan chiquvchi natijalar: simmetrik matrisaga aylantirilgan A matrisa ko‘rinishi; yechimlar, A matrisa determinanti.
⁽𝑉 + 1⁾ ∙ 𝑥₁ + ⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑥₂ − 𝑉 ∙ 𝑥₃ + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥₄ − 𝑉 ∙ 𝑥₅ = 4 ∙ 𝑉² + 6 ∙ 𝑉 + 4 ⁽𝑉 + 4⁾ ∙ 𝑥₁ − 2 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥₂ + 3 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥₃ − 𝑉 ∙ 𝑥₄ + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥₅ = 5 ∙ 𝑉² + 24 ∙ 𝑉 + 16
⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑥₁ + (𝑉 + 4) ∙ 𝑥₂ − (𝑉 + 1) ∙ 𝑥₃ + (𝑉 + 1) ∙ 𝑥₄ − (𝑉 + 3) ∙ 𝑥₅ = 𝑉² + 3 ∙ 𝑉 ⁽𝑉 + 3⁾ ∙ 𝑥₁ + ⁽𝑉 + 5⁾ ∙ 𝑥₂ − ⁽𝑉 + 1⁾ ∙ 𝑥₃ + ⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑥₄ − ⁽𝑉 + 4⁾ ∙ 𝑥₅ = 𝑉² + 5 ∙ 𝑉 + 3
𝗅𝑉 ∙ 𝑥₁ + ⁽𝑉 + 1⁾ ∙ 𝑥₂ + ⁽𝑉 + 2⁾ ∙ 𝑥₃ + ⁽𝑉 + 3⁾ ∙ 𝑥₄ + ⁽𝑉 + 4⁾ ∙ 𝑥₅ = 5 ∙ 𝑉² + 20 ∙ 𝑉 + 17