Mustaqil ish mavzu : Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра

Misol 2. Berilgan U to’plam uchun sistema sistemaga biyeksiya mavjudligi sababli izomorf bo’ladi. Haqiqatdan ham, De-Morgan qonuniga ko’ra istalgan B va C to’plam uchun:

,

Shu bilan birga

Kongruyensiya. Faktor – algebra

Agar ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n , ixtiyoriy n o’rinli simvol uchun, ixtiyoriy majmualar uchun bajariladigan bajarilishidan kelib chiqsa, ekvivalent munosabatga algebrada kongruensiya deb ataladi.

Bu barcha amallarni ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.

Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan elementlar uchun, ixtiyoriy a+b element sinfga tegishli bo’ladi.

A to’plamning konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:

bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti C ga elementni mos qo’yamiz, bu element to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda to’plamda f funksiyani quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz:

Ixtiyoriy elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan kongruentlik xossasiga ko’ra ya’ni

bajariladi.

Bunday hosil qilingan algebraga U algebraning konguensiya

bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.

elementga sinfni mos qo’yuvchi akslantirish U algebra va algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.

Agar gomomorfizm bo’lsa, u holda Ker to’plam U algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.

Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi izomorfligi haqidagi teoremani keltiramiz.