Mustaqil ish mavzu : Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

________________ kafedrasi

_________________ fanidan

Mustaqil ish

MAVZU :Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра

Bajardi:831-19 guruh talabasi

Bahromov Boburjon

Tekshirdi: Yazdon Mustapakulov

Toshkent 2020

Mavzu: Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра
Reja :

1. 
   Algebraning ta’rifi va misollar.
   
2. 
   Morfizimlar.
   
3. 
   Faktor-algebra.
   

Ko’pgina hollarda diskret matematika va uning tatbiqlarida o’rganish ob’yekti sifatida to’plam bilan birga uning tuzilishi ham ahamiyatga ega bo`ladi.

Ma’lumki, odatdagi arifmetika, geometriya ob’yektlari bilan sonli amallarni bog’laydigan chiziqli fazo hamda biror binar munosabat aniqlangan to’plamlar asosida maydon tushunchasi kiritiladi. Barcha bunday strukturalar algebraik sistemalarni tashkil etadi. Algebraik sistemalarning aniq ta’rifini keltiramiz.

Ta’rif 1. Bo’sh bo’lmagan A to’plamni qaraymiz. Bu to’plamda n-o’rinli f akslantirishni kiritamiz: f : Aⁿ → A. f funksiya bo’lganligi sababli, ixtiyoriy

elementlar uchun f amalini qo’llash natijasi bir

qiymatli aniqlanadi. f amalining qiymatlar sohasi A to’plamga tegishli bo’lgani uchun f amalni A to’plamda yopiq amal deb ataymiz.

Ta’rif 2. Signatura yoki til ∑ deb o’rni ko’rsatilgan predikat va funksional simvollar to’plamiga aytiladi. 0-o’rinli funksional simvolga constanta deyiladi.

Agar α funksional yoki predikat simvoli bo’lsa, u holda uni o’rni µ(α) yordamida belgilanadi.

n-o’rinli predikat va funksional simvollarni mos ravishda Pⁿ va f ⁿ orqali belgilaymiz. Agar qaralayotgan signaturada standart simvollar foydalanilayotgan bo’lsa, masalan: qo’shish amali uchun +, tartiblash munosabati uchun ≤, bo’lish amali uchun /, constant uchun 0 va shu kabilar, u holda biz quyidagicha yozamiz:



Ta’rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema U={A, ∑} deb bo’sh bo’lmagan A to’plamga aytiladi, bunda har bir n o’rinli predikat (funksional) simvolga A

to’plamda aniqlangan n-o’rinli predikat mos qo’yilgan. A to’plam {A, ∑} algebraik sistemaning tashuvchisi yoki universumi deb ataladi.

Ta’rif 4. ∑ dagi simvollarga mos keluvchi predikatlar va funksiyalar interpretatsiyalar deyiladi.

Interpretatsiyalarni ham signaturaning mos simvollari bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy constant simvolning interpretatsiyasi A to’plamning biror bir elementi bo’ladi. Algebraik sistemalar odatda U, B,… kabi harflar bilan, ularning tashuvchilari esa A, B,… kabi harflar bilan belgilanadi. Ko’p hollarda algebraik sistema o’rniga “algebraik” so’zi tushirib qoldirilib, sistema yoki struktura so’zi ishlatiladi.

Ta’rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A “tashuvchi”ning quvvatiga aytiladi.

Agar ∑ signatura predikat (funksional) simvollarga ega bo’lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi.

Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo’lsa, unga algebra (model) deyiladi.

Misol 1. bo’lsin, u holda { } to`plam ikkita ikki o’rinli amallar bilan algebra tashkil etadi.

Misol 2. to`plam ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +, ikki o’rinli amallar, ‘: n→ n+1 bir o’rinli amal (µ(‘)=1) va ikkita nol o’rinli amallar (constantalar) 0,1 sistemasidir.

Misol 3. majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo’lish Z to’plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3 Z, element ham Z to’plamga tegishli emas.

Morfizmlar

Faraz qilaylik U={A, ∑} , B={B,∑} algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.

Ta`rif 1. Agar akslantirish uchun quyidagi shartlar bajarilsa,

1. 
   U va B sistemalardagi funksiyalarga mos keluvchi istalgan funksional simvol uchun va istalgan α₁, α₂, … α_n uchun
   
2. 
   U va B sistemalardagi P_U va P_B predikatlarga mos keluvchi istalgan predikat simvollar uchun va ixtiyoriy uchun unga U sistemani B sistemaga akslantiruvchi gomomorfizm deb ataladi.
   

Agar gomomorfizm bo’lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: .

Gomomorfizmda amallar harakati va munosabati saqlanadi. Bu bir sistemaning xossalarini o’rganishda boshqa sistemaga ko’chirishga imkon beradi.

Misol. U = {Z, +, ≤} va B={Z² , + ,≤} sistemalarni qaraymiz, B sistemada qo’shish quyidagi qoida bo’yicha amalga oshiriladi.

, tartiblash munosabati

.

akslantirish sharti bo’yicha aniqlansa u gomomorfizm

bo’ladi. Haqiqatdan, ham istalgan a,b uchun

agar a ≤ b bo’lsa, u holda (a,0) ≤ (b,0) , ya’ni munosabatlar bajariladi.