Mustaqil ish Mavzu: Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari Bajardi Iminjonov Azimjon Toshkent 2022 Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari reja

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI







Mustaqil ish
Mavzu: Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari

Bajardi Iminjonov Azimjon

Toshkent 2022


Nyuton binomi formulasining isboti.
Binomal koeffisientlar xossalari


REJA:

1. 
   Nyuton binomi.
   
2. 
   Polinomial formula.
   
3. 
   Kiritish va chiqarish usuli.
   
4. 
   Rekurent munosabatlar.
   

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
N.b. formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-a.lar), Jamshid Koshiy (14—15-a.lar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. N.b. matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va b. sohalarda muhim ahamiyatga ega.
Мактаб курсидан маълумки
(а +b)² = а²+2аb+b²,
(а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³
Бу формулаларни умумлаштириб (а+b)ⁿ кавсни кандай очиш мумкин деган савол туғулиши табиийдир. Бу саволга қуйидаги теорема жавоб беради:
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.

Binom teoremasi (a+b)ⁿ shaklidagi (x+y)⁷ kabi ifodalarni qanday kengaytirish kerakligini aytadi. Daraja qanchalik katta boʻlsa, shunga oʻxshash ifodalarni toʻgʻridan toʻgʻri kengaytirish shunchalik qiyin boʻladi. Ammo Binom teoremasi bilan jarayon tezroq amalga oshadi! Salmon tomonidan yaratilgan.


Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.
Bernulli sxemasining amalga oshirilishini ko'rib chiqing, ya'ni. bir necha marta takrorlangan mustaqil testlar o'tkaziladi, ularning har birida berilgan A hodisasi test sonidan mustaqil ravishda bir xil ehtimollikka ega. Va har bir sinov uchun faqat ikkita natija mavjud:

1) voqea - muvaffaqiyat;

2) voqea - muvaffaqiyatsizlik,
doimiy ehtimolliklar bilan
Diskret X tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olamiz - "A hodisaning sodir bo'lish soni p testlar "va ushbu tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonunini toping. X miqdori qiymatlarni qabul qilishi mumkin
Ehtimollik tasodifiy X ning qiymatni qabul qilishi x k Bernulli formulasi bo'yicha topilgan
Bernulli formulasi (1) bilan aniqlangan diskret tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonuni deyiladi binomial tarqatish qonuni. Doimiy p va r (q \u003d 1-p)formulada (1) deyiladi binomial taqsimot parametrlari.
"Binomial taqsimot" nomi tenglikdagi o'ng tomon (1) Nyuton binomialining kengayishidagi umumiy atama ekanligi bilan bog'liq, ya'ni.
(2)
Va beri p + q \u003d 1, keyin tenglikning o'ng tomoni (2) 1 ga teng
Bu shuni anglatadiki
(4)
Tenglikda (3), birinchi muddat q n o'ng tomonda bu ehtimollik degan ma'noni anglatadi p sinov hodisasi A ikkinchi marta ham bir marta paydo bo'lmaydi a hodisasi bir marta, uchinchi muddat A hodisaning ikki marta paydo bo'lish ehtimoli va nihoyat oxirgi muddat p p - A hodisasining to'liq paydo bo'lish ehtimoli p vaqt.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish binomial qonuni jadval shaklida keltirilgan:

X	0	1	…	k	…	n
R	q n		…		…	p p

Binomial taqsimotning asosiy raqamli xususiyatlari:

1) matematik kutish (5)
2) dispersiya (6)
3) standart og'ish (7)
4) voqea sodir bo'lishining eng katta ehtimoli k 0 bu berilgan raqam p maksimal binomial ehtimolga mos keladi
hisobga olib p va r bu raqam tengsizliklar bilan aniqlanadi
(8)
agar raqam bo'lsa pr + p to'liq emas, keyin k 0 bu sonning butun qismiga teng, ammo agar pr + p tamsayı, keyin k 0 ikki ma'noga ega
Ehtimollarni taqsimlash binomial qonuni o'q otish nazariyasida, mahsulot sifatini statistik nazorat qilish nazariyasi va amaliyotida, navbatlar nazariyasida, ishonchlilik nazariyasida va boshqalarda qo'llaniladi. Ushbu qonun mustaqil testlar ketma-ketligi mavjud bo'lganda qo'llanilishi mumkin.
Bu jadvalda gruppalashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin: – har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq 1 0   n Cn Cn formula bilan ifodalanadi); – har bir qatordagi m Cn sonlar qatorning teng o‘rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o‘zaro teng ( n m n m Cn C   ); – ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig‘indisiga teng ( 1 1 1      m n m n m Cn C C ); – har bir qatordagi m Cn sonlar shu qator teng o‘rtasigacha o‘sib, so‘ng kamayadi. Ta’rif sifatida 1 0 C0  deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning n 1 raqamli qatoridan oldin n  0 raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak figurasiga o‘xshash 1-shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin. 1-shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi. Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi.
Uning Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda)  1 7 21 35 35 21 7 1 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1- shakl 2 yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy1 XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi2 butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilganligi haqida ma’lumotlar bor. Keyinchalik G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel3 arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya4 , keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred5 (1631 yil) ham shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi.
Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar O‘rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik: 2 2 2 (a  b)  a  2ab b – yig‘indining kvadrati; 3 3 2 2 3 (a  b)  a  3a b  3ab  b – yig‘indining kubi. Yig‘indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4-va 5-darajalarini hisoblaymiz: (  )  (  )(  )  (  )(  3  3  )  4 3 3 2 2 3 a b a b a b a b a a b ab b 4 3 2 2 3 4  a  4a b  6a b  4ab  b ,      5 4 (a b) (a b)(a b) 5 4 3 2 2 3 4 5  a  5a b 10a b 10a b  5ab  b . Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya’ni to‘rtinchi darajasi) 4 4 3 2 2 3 4 (a  b)  a  4a b  6a b  4ab  b va yig‘indining beshinchi darajasi
Yuqorida keltirilgan yig‘indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o‘ng tomonlaridagi ko‘phad koeffitsientlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi m Cn ( n  2,3,4,5 ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas. 1-t e o r e m a . Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun n n n n n n n n n n a  b  a C a b C a b  C ab  b 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... formula o‘rinlidir. I s bo t i . Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Baza: n 1 bo‘lganda formula to‘g‘ri: a  b  a  b 1 ( ) . Induksion o‘tish: isbotlanishi kerak bo‘lgan formula n  k uchun to‘g‘ri bo‘lsin, ya’ni k k k k k k k k k k a  b  a C a b C a b  C ab  b 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... . Formula n  k 1 bo‘lganda ham to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, 1 1 1      m n m n m Cn C C formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:      k k (a b) (a b)(a b) 1             ( )( ... ) 1 1 2 2 2 k 1 k 1 k k k k k k k a b a C a b C a b C ab b         k k k k k k k k a C a b C a b ... C ab 1 1 2 1 2       0 1 1 2 1 1 ... k k k k k k k Ck a b C a b C ab b ( ) ( ) ... 1 0 1 1 2 1 2         a C C a b C C a b k k k k k k k     1 1 ... ( ) k k k k k Ck C ab b 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ...             k k k k k k k k k a C a b C a b C ab b . ■ Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun n (a  b) ifodaning ko‘phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton6 binomi deb ataladi. Umuman olganda, “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtai nazardan yondoshilsa, undagi ikkala so‘zga nisbatan ham shubha tug‘iladi: birinchidan, n (a  b) ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya’ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyutongacha ma’lum edi7 . Greklar n (a  b) ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n  2 bo‘lgan holida (ya’ni, yig‘indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Hayyom8 va Ali Qushchi n (a  b) ifodani n  2 bo‘lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767 yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo‘llagan. L. Eyler 1774 yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren9 esa bu formulani darajaning ratsional ko‘rsatkichlari uchun qo‘lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel10 daraja ko‘rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.