Mustaqil ish mavzu: To‘plamlarda guruhlashlar, ular sonini aniqlash Reja

Takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar.
Umumiyroq ma- salani ko‘rib chiqaylik: m elementli X to'plamdan nechta tartib- langan к elementli to'plamlar tuzish mumkin?
Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tartiblash к elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni
m(m - l)(m - 2) • ... •(m ­ к + 1)
ko'paytmaga teng. U Л* bilan belgilanadi va m elementdan к tadan takrorlanmaydigan о ‘rinlashtirishlar soni deb ataladi:
Akm = m( m­ l )­. . .­( m ~ k + 1) =

Д»' = Pm= m'> 0 ! = 1 deb qabul qilinadi.

Masalan, sinfdagi 20 o'quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o'quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Л2о=т1!oг7! = 20-19 = 380 (usul bilan).
3 . 7 . Takrorlanmaydigan guruhlashlar. «m elementli X to'plam-
ning nechta к elementli qism to'plamlari bor?» — degan masalani hal qilaylik.
Masalan, 4 elementli A = {a; b; c; d} to'plamning nechta 3 elementli qism to'plami borligini ko'raylik. Ular {a; b; c},
{a\ b\ d}, {a\ c; d}, {b; c; d). Demak, 4 ta shunday qism to'plam bor ekan. Bunday qism to'plamlar takrorlanmaydigan guruhlashlar deb ataladi. Bu qism to'plamlarni tartiblaganda 6 barobar ko'proq 3 o'rinli kortejlarga ega bo'lamiz.
Masalan, {a\ b; c} ni tartiblasak: (a; b; c), (a; c; b), {b\ a; c),
{b\ c; a), (c; a; b), (c; b\ a) tartiblangan uchliklarga ega bo'lamiz, tartiblanishlar soni 3! = 6 marta ko'p. Bu bogianishdan foyda- lanib, guruhlashlar sonini topish formulasini keltirib chiqarish mumkin.
m elementli to'plamning к elementli qism to'plamlari soni C* bilan belgilanadi va m elementdan к tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni deyiladi. (C — fransuzcha combinaison — «bi- rikma» so'zidan olingan.) Takrorlanmaydigan guruhlashlar soni uchun
Ak = C k P => C k = — m‘ * pm ( m­k)'. k !
M a s a l a .
Sinfdagi 20 o'quvchidan ko'rikda ishtirok etish uchun uch o'quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Y e c h i s h . Ko‘rik ishtirokchilarining tartibi ahamiyatga ega bo'lmagani uchun 20 elementli to'plamning 3 elementli qism to'plamlari soni nechtaligini topamiz:

!Т7Г'Т Г з 3 iy 2U­“ 4U­
С3 — 32 0 ! — 1 8 1 9 20 — i 9 2 0 — i i 4 0

Javob: 3 o'quvchini 1140 usul bilan tanlash mumkin ekan.

8. 
   С* ko'rinishdagi sonlarning xossalari.
   

| ° _ s-'m-k оО ^к _ s~*k-\ . r^k oo _ *
* • '■'m m • z • W i “ ^ m­1 “r ^ w­l ■ J • 4 i " 4 i

1. 
   xossani isbot qilish uchun C* = , formuladan foyda-
   

, . k'.( m­k)\
lanamiz:
/­m­i _ w! _ w! _ m! _/­*
m ( m -* )!( m -( m -* ))! (m-* )!(/» -от +*)! (w -A :)!*! m‘

Xossaga ko'ra, C230 = C^; C52 = C53va h. k.

2. 
   xossaning i s b o t i .
   

Ck~l+ ck­ (от-l)! , (" 1- 1)! _
m­l m-1 (A:­l)!(m­l)­(A:­l)! А:!(/и­1­А:)!
_ (wj- 1)! (m -l)! _ (/n-l)!A:
(Jt-l)!(m -*)! * !(m-Jfc-l)! (Ar-l)!Jt(m-*)

(m­l)'.(m­k)	_ (m­\)\k	(m­l)'.(m­k) _
k\(m­k­\)\( m­k)	kl(m­k)	k\{m­k)\

_ ( m­\ ) \ k + ( m­\ ) \ ( m­k ) _ ( m­\)\( k + m­k ) _ k \ ( m­k ) \ k \ ( m­k )

_ {m­\)\m _ m! _ r ,k
~ k \ ( m­k ) \ ~ k \ ( m­k ) \ ~ m

2°-va 3°-xossalardan foydalanib, C* ko'rinishdagi sonlarning qiymatini ketma-ket hisoblash mumkin.

3°-xossaga ko'ra C$ = С ,0=C/ =C2° =C 2 = 1. Bundan 2° ga ko'ra Cj =C,°+C 1= 1 + 1= 2.
C* ko'rinishdagi sonlarni Paskal uchburchagi ko'rinishida joylashtirish mumkin: