Mustaqil ishi mavzu: Muntazam ko’pyoqlarning hajmlari
Download 333.1 Kb. Pdf ko'rish
|
geometriya zulayho
|
2-oliy ta‟lim Matematika informatika yo‟nalishi 2-bosqich talabasi Nishonova Zulayhoning Geometriya fanidan MUSTAQIL ISHI MAVZU: Muntazam ko’pyoqlarning hajmlari REJA: KIRISH 1.Muntazam ko‟pyoqlar 2. Muntazam kopyoqlarning hajmlari 3. Eyler teoremasi 4. Ko‟pyoqlar va aylanish figuralari kombinatsiyasi XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR KIRISH O„zbekistоn Respublikasida amalga оshirilayotgan ta‟lim sоhasidagi islоhоtlar o„ziga xоs jamiyat hayotini yangilashda muhim o„rin tutadi. Jamiyatni ijtimоiy iqtisоdiy, ma‟naviy-madaniy taraqqiyotining asоsi bugungi kunda ta‟lim muassasalarida taxsil оlayotgan yoshlarning bilim darajasi va egallagan ko„nikmalariga bоg„liq. Yosh avlоdga geometriyani o‟qitishdan maqsad-tekislikdagi va fazodagi shakllarning xossalarini sistemali ravishda o‟rgatish va bu xossalarni hisoblash yo‟li bilan yechiladigan hamda konstruktiv xarakterdagi masalalarni yechishda qo‟llanish yo‟li bilan o‟quvchining fazoviy tasavvurlarini, mantiqiy tafakkurlarini rivojlantirish, hosil qilingan bilimlarni yer ustidagi o‟lchashda, har xil qurilmalarni sirtlarini va hajmlarini aniqlashda va shuning kabi amaliy ishlarni bajarishda foydalanishni o‟rgatishdir. Sistemali ravishda masalalar yechib borish nazariyani ongli va puxta o‟zlashtirishga yordam beradi, uning amaliy qiymatini ko‟rsatadi, shu bilan birga masala yechish o‟quvchini mantiqiy tafakkurini, ijodiy tashabbuskorliklarini, faxm-farosatlarini, tarbiyalaydi hamda ularga bir qancha zarur amaliy mahorat va malakalar beradi. Xususan, masalalarni o‟rganish ilmiy dunyoqarashni shakillantirishga sezilarli hissa qo‟shadi. Geometrik qonuniyatlarni bilish yordamida ko„plab hayotni yengilashtiruvchi masalalarni yechimini topa olamiz. Hоzirgi kunda umumta‟lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kоllejlari matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish metоdlarining asоsiy maqsadi o„quvchilarning shu fan bo„yicha egallaydigan bilimlari sistemasini yanada chuqurrоq shakillantirish, ularning bilim оlish jarayonini faоllashtirishdan ibоratdir. Muntazam ko‟pyoqlar Ko‟pyoqning barcha yoqlari kongurent muntazam ko‟pburchaklardan iborat bo‟lib, hamma ko‟pyoqli burchaklari ham kongurent bo‟lsa, u muntazam ko‟pyoq deb ataladi. Ravshanki, ko‟pyoqning har bir uchidan kamida uchta yog‟i o‟tganligi uchun yuqoridagi ikkinchi teoremaga asosan shu uchdagi barcha yassi burchaklarning yig‟indisi 4d dan kichikdir. Muntazam ko‟pyoqning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat bo‟lsa uning har bir uchidan uchta yoq o‟tishi (chunki 3*60<4d), to‟rtta yoq o‟tishi (chunki 4*60<4d), beshta yoq o‟tishi (5*60<4d) mumkin. Lekin bir uchdan oltita va undan ko‟p yoq o‟tishi mumkin emas. Demak, yoqlari muntazam uchburchakdan iborat faqatgina uch xil muntazam ko‟pyoq mavjud bo‟lishi mumkin. Bular quyidagilardir: 1.Muntazam to‟rtyoq, odatda muntazam tetraedr deb yuritilib uning 4 ta yog‟i, 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor 2.Muntazam sakkizyoq,oktaedr deb atalib, uning 8 ta yog‟i, 6 ta uchi va 12 ta qirrasi bor. 3.Muntazam yigirmayoq, ikosaedr deb atalib, uning 20 ta yog‟i, 12 ta uchi va 30 ta qirrasi bor. Endi yoqlari muntazam to‟rtburchakdan, ya‟ni kvadratdan iborat muntazam ko‟pyoqni ko‟raylik. Bunday muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan faqat uchta yoq chiqishi mumkin(chunki 3*90<4d). Lekin bir uchdan to‟rtta va undan ortiq yoq chiqishi mumkin emas. Demak yoqlari muntazam to‟rtburchakdan iborat muntazam ko‟pyoq faqat bir tur bo‟lib, kubdan iborat, kubni ba‟zan geksaedr deb yuritiladi. Kub 6 ta yoqqa, 8 ta uchga va 12 ta qirraga ega. Yoqlari muntazam beshburchaklardan iborat muntazam ko‟pyoqlarning ham turi bittadir. Uni ba‟zan dodekaedr deb atalib, 12 ta yoqdan, 20 ta uchdan va 30 ta qirradan iboratdir. Demak, muntazam ko‟pyoqning yoqlari faqatgina muntazam uchburchak, muntazam to‟rtburchak, muntazam beshburchaklardangina iborat bo‟lib, ular 5 turga bo‟linadi.Agar ko‟pyoqning barcha uchlari biror sferada yotsa, u holda bu sfera shu ko‟pyoqqa tashqi chizilgan deyiladi, agar ko‟pyoqning barcha yoqlari biror sferaga urinsa, bu sfera shu ko‟pyoqqa ichki chizilgan deb ataladi. Muntazam ko‟pyoqlar uchun quyidagi o‟rinli: har qanday muntazam ko‟pyoqqa doimo ichki va tashqi sferalar chizish mumkin. Muntazam ko‟pyoqlarning hajmlari To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi Teorema. To‟g‟ri burchakli parallelepipedning hajmi uning uchta o‟lchami: uzunligi a, eni b va balandligi c ko 'paytmasiga teng: V=abc Natija. To 'g'ri burchakliparallelepipedning hajmi asosining yuzi bilan balandligining ko 'paytmasiga teng: V=S H Lemma. Og'ma parallelepipedning hajmi shunday to'g'ri parallelepipedning hajmiga tengki, uning asosi og'ma parallelepipedning perpendikular kesimidan iborat, balandligi esa og'ma parallelepipedning yon qirrasiga tengdir. Teorema. Parallelepipedning hajmi asosining yuzi bilan balandligi ko'paytmasiga teng. Prizmaning hajmi. Prizmaning hajmini hisoblash formulasini keltirib chiqarishdan awal prizmalarning quyidagi xossasini ko'rib chiqamiz. Lemma. Og'ma prizma shunday to'g'ri prizmaga tengdoshki, to'g'ri prizmaning asosi og'ma prizmaning perpendikular kesimidan iborat bo'lib, balandligi esa og'ma prizmaning yon qirrasiga tengdir. Teorema. Uchburchakli prizmaning hajmi asosining yuzi bilan balandligi ko'paytmasiga teng.Kubning hajmi. Asosining yuzi balandlikka ko‟paytmasiga teng. Yuqorida keltirilgan muntazam ko‟pyoqlar quyidagi umumiy xossaga ega: har bir muntazam ko‟pyoqda uchlar bilan yoqlar sonlarining yig‟indisi qirralar sonidan ikkita ortiqdir. Haqiqatan ham har bir muntazam ko‟pyoq yoqlari sonini f, uchlari sonini l, qirralari sonini k bilan belgilasak, Tetraedr uchun: f=4, l= 4, k=6 Oktaedr uchun: f=8, l=6, k=12 Geksaedr uchun: f=6, l=8, k=12 Ikosaedr uchun: f=20, l=12, k=30 Dodekaedr uchun: f=12, l= 20, k=30 Bularning hammasi uchun: f+l-k=2. Bu xossa faqat muntazam ko‟pyoqlar uchun o‟rinli bo‟lmasdan, quyidagi teorema bu xossaning keng sinfdagi ko‟pyoqlar uchun ham o‟rinli ekanini tasdiqlaydi. Teorema (Eyler teoremasi). Har qanday qavariq ko‟pyoqning yoqlari bilan uchlari sonini yig‟indisi qirralari sonidan ikkita ortiqdir. Isbot. Biror M qavariq ko‟pyoq berilgan bo‟lib, uning yoqlari soni f, uchlari soni l, qirralari soni k bo‟lsin. Bu holda: f+l-k=q desak, q=2 ekanini isbotlaymiz. Ko‟pyoqning barcha yoqlari birlashmasini S bilan belgilab, uni ko‟pyoq ko‟pyoq sirti deb ataylik. S dan bitta yoqning ichki qismini chiqarib tashlaylik, u holda qolgan sirtni S1 desak, bu sirtdagi yoqlar soni f1 avvalgi sirtga nisbatan bitta kamayib, uchlar soni l1, qirralar soni k1 o‟zgarmay qoladi, demak, S1 uchun f1+l1-k1=q-1 Bu vaqtda ikkita hol yuz berishi mumkin: 1-hol: S1 ning barcha yoqlari faqat uchburchaklardan iborat bo‟lishi mumkin. Faqat bitta yoqqa tegishli qirrani (uchni) chegaraviy qirra deb ataylik. Chegaraviy qirra yoki uch bo‟lgan yoqni ham chegaraviy yoq deb ataylik. Bundan ko‟rinadiki, qavariq ko‟pyoqning sirti chegaraviy yoqqa, chegaraviy qirraga va chegaraviy uchga ega emas. Masalan, parallelepiped sirtida chegaraviy qirra va chegaraviy uch yo‟q, lekin bir yoqning ichini chiqarib tashlasak, qolgan sirtda 4 ta chegaraviy qirra bo‟ladi. Qavariq ko‟pyoqning sirti kamida bitta chegaraviy bo‟lmagan qirraga egaligidan chegaraviy yoq uchburchakdan iborat bo‟lganda unda bitta yoki ikkita chegaraviy qirra va bittadan ortiq bo‟lmagan chegaraviy uch bo‟lishi mumkin. Ravshanki, yoq uchburchakdan iborat bo‟lganda , u chegaraviy uchga ega bo‟lishi uchun albatta ikkita chegaraviy qirraga ega bo‟lishi kerak. S1 sirtdan chegaraviy elementlarga ega bo‟lgan bitta yoqning ichini chegaraviy elementlari bilan chiqarib tashlaymiz, qolgan sirtni S2 bilan, uning yoqlari, qirralari va uchlari sonini mos ravishda f2, l2, k2 bilan belgilab f2+ l2- k2 ni hisoblaylik. Agar chiqarib tashlangan yoq bitta chegaraviy qirraga ega bo‟lsa (bu yoqda chegaraviy uch bo‟lmaydi), f2+ l2- k2=(f-l)+l1-(k1-1)=f1+l1-k1=q-1, agar chiqarib tashlangan yoq ikkita chegaraviy qirraga ega (albatta bu vaqtda bitta chegaraviy uch ham shu yoqqa tegishlidir) bo‟lsa, f2+ l2- k2=(f1-l)+(l1-1)-(k1-2)=f1+l1-k1=q-1. Demak, chegaraviy qirraga ega bo‟lgan bir yoqning ichini chegaraviy elementlari bilan chiqarib tashlasak, f1+l1-k1 ifoda o‟zgarmaydi. Xuddi shunga o‟xshash, S2 dan chegaraviy elementga ega bo‟lgan bir yoqning ichini chegara elementlari bilan chiqarib tashlasak ham, f3+l3-k3=q-1 shu ishni davom ettirib, oxiri bitta uchburchak (S ko‟pyoqli sirtning bitta yog‟i) qolguncha davom ettiramiz, ravshanki, uchburchak uchun f+l-k=1 dir. Yoqlarni bittadan kamaytirishda ft+lt-kt ifoda doimo q-1 ga teng bo‟lib, qolgani uchun q- 1=1 yoki q=2. Shuni isbot etish talab qilingan edi. 2-hol: S1 sirtning yoqlari orasida tomoni uchtadan ko‟p bo‟lgan yoq bo‟lishi mumkin. Bu yoqning shunday dioganalini o‟tkazamizki, natijada bu yoqda kamida bitta uchburchak hosil bo‟lsin, agar shu dioganalni S1 ning qirrasi deb, hosil qilingan uchburchakni ham bir yoq desak, S1 da qirra va yoqlar soni bittadan ortib, uchlar soni o‟zgarmaydi, demak, f1+l1-k1 ifoda ham o‟zgarmaydi. Uchburchakli bo‟lmagan yoqlarni uchburchakli yoqlarga keltirishi bilan f1+l1-k1 ifoda o‟zgarmas ekan. U holda S1 ning barcha yoqlari uchburchakdan iborat bo‟lib, 1-holga keltiriladi. Natija: muntazam ko‟pyoqlarning ko‟pi bilan 5 turi mavjuddir Isbot: Muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan r ta qirra chiqib, har bir yoqqa n ta tomon bo‟lsin. U holda 2k=nf⇒2k=r*l. f= , l= ni Eyler teoremasidagi f, l ning o‟rniga qo‟ysak, =2 yoki = . (*) Ravshanki, n, r bir vaqtda 3 dan katta bo‟la olmaydi, aks holda bo‟lib (*) ifoda o‟rinli bo‟lmaydi, chunki r>0 quyidagi hollar yuz berishi mumkin: a) n=3 bu vaqtda (*) dan r, k ning natural sonlar ekanligidan: r=3 da k=6; r=4 da k=30; buning geometrik ma‟nosi shundan iboratki, yoqlari muntazam uchburchakdan iborat muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan 3 ta qirra chiqadi (tetraedr), 4 ta qirra chiqadi(oktaedr), 5 ta qirra chiqadi (ikosaedr). b) r=3, bu vaqtda (*) dan ; n, k ning natural sonlar ekanligidan: n=3 da k=6; n=4 da k=12; n=5 da k=30. buning geometrik ma‟nosi shundan iboratki, har bir uchdan uchta yoq chiqib, ularning har biri muntazam uchburchak bo‟lishi mumkin (tetraedr), muntazam to‟rtburchak bo‟lishi mumkin (kub), muntazam beshburchak bo‟lishi mumkin (dodekaedr). Demak, muntazam ko‟pyoqning faqatgina 5 ta turi mavjuddir. Ko‟pyoqlar va aylanish figuralari kombinatsiyasi Prizma va aylanish figuralari kombinatsiyalari. Silindrga prizma ichki chizilgan deyiladi (silindr- prizmaga tashqi chizilgan), agarda prizma asosi silindr asosiga ichki chizilgan bo‟lsa. Teorema: Prizmaga tashqi silindr chizish uchun prizmaning to„g„ri va uning asosiga tashqi aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam prizmaga tashqi silindr chizish mumkin. silindrga ichki chizilgan prizmaning har qaysi yon qirrasi silindrni yon yasovchisi deyiladi. Prizma silindrga tashqi chizilgan deyiladi (silindr –prizmaga ichki chizilgan), agarda prizma asosi silindr asosiga tashqi chizilgan bo„lsa. Teorema: Prizmaga ichki silindr chizish uchun prizmaning to„g„ri va uning asosiga ichki aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda, har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam prizmaga ichki silindr chizish mumkin. Silindrga tashqi chizilgan prizmaning yoqlari, silindrning yon sirtiga uning yasovchisi bo„yicha o„rinadi. Bu yasovchisi mos ravishda silindr asoslari va prizma asoslari o„rinish nuqtalaridan o„tadi. Prizma sharga ichki chizilgan deyiladi (shar esa prizmaga tashqi chizilgan), agarda prizmaning uchlari shar sirtiga egishli bo‟lsa. Teorema: Prizmaga tashqi shar chizish uchun prizmani to„g„ri va uning asoslariga tashqi aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda, har qanday muntazam prizmaga tashqi shar chizish mumkin. Prizmaga tashqi chizilgan sharning markazi, prizma asoslariga tashqi chizilgan aylanalar markazlarini tutashtiruvchi kesmaning o„rtasida bo„ladi. Prizmaning barcha yoqlari sharga o„rinsa, u holda shar prizmaga ichki chizilgan (prizmaga esa shar tashqi chizilgan) deyiladi. Teorema: Prizmaga ichki shar chizish uchun prizmaning perpendikulyar kesimiga ichki aylana chizish mumkin bo„lishi va prizmaning balandligi bu aylana diametriga teng bo‟lishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda, muntazam prizmaga ichki shar chizish mumkin, qachonki, uning balandligi asosiga ichki chizilgan aylana diametriga teng bo„lsa. Teorema: Piramidaga ichki konus chizish uchun, piramida asosiga ichki aylana chizishning mumkin bo„lishi va piramidaning balandligi bu aylana markaziga tushishi zarur va yetarli. Xususiy holda, har qanday muntazam piramidaga ichki konus chizish mumkin. Piramida konusga ichki chizilgan deyiladi (konus esa piramidaga tashqi chizilgan), agar piramidaning uchi konus uchi bilan ustma-ust tushib hamda piramida asosi konus asosiga ichki chizilgan bo‟lsa. Teorema: Piramida tashqi konus chizish uchun piramidaning yon qirralari teng bo‟lishi zarur va yetarlidir. Piramida sharga ichki chizilgan deyiladi (shar esa piramidaga tashqi chizilgan), agar piramidaning uchlari shar sirtida yotsa. Teorema: Piramidaga tashqi shar chizish uchun piramida asosiga tashqi aylana chizish mumkin bulishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda , har qanday tetraedrga va muntazam piramidaga tashqi chizish mumkin. Piramidaga tashqi chizilgan shar markazi, asosiga tashqi chizilgan aylana markazidan o„tuvchi va asosiga perpendikulyar to„g„ri chiziqda yotadi. Shar piramidaga ichki chizilgan deyiladi (piramida esa sharga tashqi chizilgan), agar shar piramidaning barcha yoqlariga o„rinli bo‟lsa. Teorema: Har qanday tetraedrga ichki shar chizish mumkin. Teorema: Agar piramida asosiga ichki aylana chizish mumkin bo„lib va piramidaning balandligi shu aylana markaziga tushsa, u holda bu piramidaga ichki shar chizish mumkin. Xususiy holda , har qanday muntazam piramidaga ichki shar chizish mumkin. Aylanish figuralari kombinatsiyalari Shar konusga ichki chizilgan deyiladi (konus esa sharga tashqi chizilgan), agar shar konusning asosiga va har qaysi yasovchisiga urinsa. Har qanday konusga ichki shar chizish mumkin. Uning markazi o‟q kesimiga ichki chizilgan aylana markazi bilan ustma-ust tushib, shu bilan birga shar radiusi shu aylana radiusiga teng. Konus yasovchilari bilan sharning urinish nuqtalari to‟plami aylanadan iborat bo‟lib, u konus asosiga parallel tekislik bilan konus yon sirtining kesimidan iborat. Shar konusga tashqi chizilgan deyiladi (konus esa sharga ichki chizilgan), agar konusning uchi va asos aylanasi shar sirtida yotsa, istalgan konusga tashqi shar chizish mumkin. Tashqi chizilgan shar markazi konus o‟q kesimiga tashqi chizilgan aylana markai bilan ustma-ust tushib, radiusi shu aylana radiusiga teng. Shar silindirga ichki chizilgan deyiladi (silindir esa sharga tashqi chizilgan), agar shar silindirning har ichki asosiga va barcha yasovchilariga urinsa. Teorema: Silindirga ichki shar chizsh mumkin faqat va faqat silindir balandligi asos diametriga teng bo‟lsa. Ichki chizilgan shar markazi, silindir asoslari markazlarini tutashtiruvchi kesma o‟rtasida bo‟ladi. Shar silindirga tashqi chizilgan deyiladi (silindir sharga ichki chizilgan), agar silindir asoslari aylanalari shar sirtida yotsa. Istalgan silindirga tashqi shar chizish mumkin. Tashqi chizilgan shar markazi silindr o‟q kesimiga tashqi chizilgan aylana markazi bilan ustma-ust tushib, radiusi shu aylana radiusiga teng bo‟ladi. Silindr konusga ichki chizilgan deyiladi, agar silindrning bitta asosi konus asosida yotib, ikkinchi asosi aylanasi konus yon sirtida yotsa. XULOSA Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, stereometriya bo‟limi eng murakkab bo‟limlardan biri bo‟lib, bo‟limga oid misol va masalalarni yechish o‟quvchidan chuqur bilim va keng tasavvurni talab etadi. Figuralarning taxminiy chizmasini chizish, ularni bo‟laklarga ajratish yoki bo‟laklardan butun bir figura hosil qilish va bu chizmalar yordamida masalalarning to‟g‟ri yechimlarini topish uchun o‟quvchida yetarli darajada nazariy bilim va boy tasavvur bo‟lishi lozim.Aynan ko‟pyoqlar, muntazam ko‟pyoqlarga oid misol va masalalarni ishlashda avvalo muntazam ko‟pyoqlarning turlarini bilish, ularni xossalarini bilish va ularning sirti, hajmlarini topish formulalarini o‟rganish zarur.Ushbu kurs ishining maqsadi ham muntazam ko‟poqlarning mana shu xossalarini o‟rganish, turlarini o‟rganish, ularning sirti va hajmlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqarish va misol- masalalarni turli xil oson usullar bilan ishlash yo‟llarini o‟rgatishdan iborat.Barchamizga ayonki, inson qalbiga yo‟l ta‟lim-tarbiyadan boshlanadi. Shuning uchun qachonki bu haqda gap ketsa, ajdodlarimiz qoldirgan bebaho merosini eslash bilan birga, ota-onalarimiz qatori biz uchun eng yaqin bo‟lgan yana bir buyuk zot ustoz va murabbiylarning oliyjanob mehnatini hurmat bilan tilga olamiz. Biz yurtimizda yangi avlod, yangi tafakkur sohiblarini tarbiyalashdek mas‟uliyatli vazifani ado etishda birinchi galda ana shu kasb egalariga suyanamiz va tayanamiz, ertaga o‟rnimizga keladigan yoshlarning ma‟naviy dunyosini shakllantirishda ularning xizmati naqadar beqiyos ekanini o‟zimizga yaxshi tasavvur qilamiz. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. O‟zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi. Barkamol avlod O„zbekiston taraqqiyotining poydevori. T. «SHarq» 1997 yil. 2. M.A.Sobirov, A.E.Yusupova “Differentsial geometriya kursi” T., “O‟qituvchi” 1965. 3. A.V.Pogorelov. Geometriya. M. "Nauka" 1983. 4. A.V.Pogorelov “Differentsialnaya geometriya” M.: 1974. 5. T. Bakirov “Juft ketma-ketliklar yordamida geometrik kattaliklarni o‟lchash” (o‟quv metodik ko‟rsatma) FDU. 2010 y. 6. ”Geometriya” 7-sinf uchun darslik. A. Azamov, B. Haydarov va boshqalar. T.: “Yangiyo‟l polegraf servis”-2013 7. “Geometriya” 9-sinf uchun darslik. B. Haydarov va boshqalar. T.:”O‟zbekiston milliy ensiklopediyasi” davlat ilmiy nashriyoti- 2010 8. A. A. Rahimqoriyev. “Geometriya” 8-sinf uchun darslik.T.: “Yangiyo‟l polegraf servis”-2010 Internet saytlari: To‟liq matnli kutubxona www.lib.ru Maktabda axborot texnologiyalari www.edunet.uz Talaba-yoshlar sayti www.study.uz Bilim portali www.ziyonet.uz Download 333.1 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|