Musvat ratsional sonlar to`plami Reja

Musvat ratsional sonlar to`plami 

Reja 

1. Kasrlarning kelib chiqish tarixi 

2.Ratsional sonlar tushnunchasi 

3.Kesmalarni o`lchash, ekvivalent kasrlar.  

4.Musvat ratsinal sonlarni tushunchasi,  ularni qo`shish  va uning xossalari. 

5.Musvat ratsional sonlarni ayirish . 

 

Sakkiz yillik maktab matematika kursidan, natural sonlar va noldan boshqa ham sonlar bor ekanligi bizga 

ma`lum: butun,kasr,ratsional, irratsional, va haqiqiy sonlar.  

Son tushunchasining kengayish jarayonida  asosiy twplam  N natural sonlar twplami bwladi.Natural son  

tushunchasi qadim zamonlarda foyda bwlib, bu tushunchaning kengayishi bir qancha asirlar davom etti. Narsalarni 

aniq wlchashga bwlgan zarurot musvat kasr sonlar tushunchasiga olib keldi.Tenglamalarni echish praktikasi va 

nazariy tatqiqatlar  bilan  bog`liq  manfiy sonlar tushunchasi kelib chiqdi. Dastlab tushurib qoldirilgan sonlarni nol  

bilan  belgiladi, manfiy sonlar kiritilgandan sung nol soni Z butun sonlar twplamida va Q ratsional sonlar twplamida 

barcha sonlar qatori teng huquqli son bwldi. 

Biznig eramizgacha Y asrda Pifagor maktabida kesmalarning uzunligin aniq o`lchash uchun musvat ratsional 

sonlarning etarli emasligi aniqlandi.Bu muammani echishda irratsional son kelib chiqdi, XYI asrda o`nli kasrlarning 

kiritilishi  bilan  haqiqiy sonlar kelib chiqdi. Haqiqiy sonning aniq ta`rifi va xossalari XIX asrda berildi. 

Haqiqiy sonlar tushunchasi sonlar qatorining oxiri emas.Son tushunchasining kengayish jarayoni davom ettirilishi 

mumkin. 

Wquvchilarning kasrlar  bilan  tanishuvi boshlang`ich sinflardan boshlanadi.Shuning uchun boshlang`ich sinf 

wqituvchisi kasr va ratsional,natural sonlar twplami ular ustida amallar bajarish qoidasini, qonunlarini bilishi zarur, 

sonlar orasidagi munosabatlarni oldindan ko`ra bilishlari kerak. Bu narsa boshlang`ich va o`rta sinlarda 

matematikani ketma-ketlikda o`rganishni amalga oshirishda ahamiyatli. 

 Kasr tushunchasi 

Kasrlarning  kelib chiqishi miqdorlarni o`lchash  bilan  bog`liq.

a

kesmasini olamiz.Uning uzunligini topish 

uchun  birlik  kesma

e

  ni  olamiz.  O`lchash  jarayonida  kesma uzunligi 

e

3

  dan  katta,  ammo 

e

4

  dan  kichik  bwldi. 

Shuning uchun uni natural son  bilan  ko`rsatish mumkin emas (

e

uzunlik birligida).Ammo, 

e

 kesmani har biri 

1

e

ga teng bwlgan  4 bo`lakka bo`lsak, u holda 

a

 kesmaning uzunligi 

e

14

1   

ga  teng ekanligi kelib    chiqadi. Agar 

dastlabki uzunlik birligi 

e

ga qaytsak, u holda 

a

kesmaning to`rtdan birigi teng bo`lgan 14  kesmadan turadi,ya`ni 

kesma uzunligi haqida aytganda  biz ikki natural son 14 va 4 sonlariga murojat qilishga  tug`ri keldi. Bunday holda 

kesma uzunligini  

е

4

14

 ko`rinishida yozishga kelishamiz va 

4

14

 yozuvini kasr deb ataymiz. 

Umumiy  ko`rinishda  kasr  tushunchasi  quyidagicha  aniqlanadi:  mayli 

a

  kesmasi  va  birlik  kesma 

e

berilgan bwlsin,shu  bilan  birga 

e

 kesmasi  

1

e

ga teng bwlgan 

n

kesmasini yig`indisi bo`lsin.Agar 

a

kesmasi  

1

e

ga teng bwlgan 

m

kesmadan turadigan bwlsa, u holda   uning uzunligini 

1

e

n

m

 deb yozish mumkin.  

n

m

simvolini  kasr  deb  ataydi  Tanlab  olingan 

1

e

  kesmasi 

e

kesmaning  to`rtdan  bir  ulushi  bo`ladi. 

e

  kesmaning 

sakkizdan bir ulushini ham olish mumkin, u holda  

a

 kesmasi 28 bo`lakdan turadi va uning uzunligi  

е

8

28

 ga teng 

bo`ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkinligini ko`rsatsak, u holda 

a

kesmaning uzunligini cheksiz har 

xil kasrlarning to`plami  bilan  ifodalash mumkin: 

,....

26

56

,

8

28

,

4

14

  

Agar 

e

uzunlik  birligida 

a

kesmaning  uzunligi

n

m

  kasiri    bilan    ifodalansa,  uni 

nk

mk

  kasiri    bilan  

ifodalash mumkin, bunda 

k

natural son. 

Ta`rif. 

e

uzunlik birligida bir kesmaning uzunligini ifodalaydigan kasrlar, teng kasrlar deyiladi.

 

Agar  

n

m

va 

q

p

 teng bo`lsa, u holda 

q

p

n

m



 deb yoziladi. Masalan, 

4

14

 va 

8

28

 kasrlari  

e

 uzunlik birligidagi bir 

kesma uzunligini ifodalaydi, shuning uchun 

4

14

= 

8

28

. 

Berilgan kasrlar tengligini aniqlash belgisi quyidagicha: 

n

m

va 

q

p

 kasrlari teng bo`lishi uchun 

np

mq 

 bo`lishi zarur va etarli. 

1. 

np

mq

q

p

n

m







 ekanligini kwrsatamiz.Ixtiyoriy  p son uchun 

nq

mp

n

m



, va ixtiyoriy   n uchun 

nq

np

q

p



 bo`lishidan 

n

m

 va 

q

p

 kasrlarning tengligining 

nq

np

nq

mq



 ekanligi kelib chiqadi, bulardan esa 

np

mq 

 ekanligi kelib chiqadi. 

2. 

q

p

n

m

np

mq







 ekanligin kwrsatamiz. Agar 

np

mq 

 chin tengligin ikki tomonini  ham 

n

 natural 

soniga bwlsak, u holda 

nq

np

nq

mq



 chin tengligiga ega bwlamiz. Ammo  

.

,

,

q

p

n

m

demak

q

p

nq

np

n

m

nq

mq







  

Masalan. 

19

17

 va 

27

23

 kasrlari tengligin aniqlaymiz.Uning uchun 

27

17 

va

23

19 

 kwpaytmalarini taqqoslaymiz: 

Kasrlari teng be yamasa teng emes pe, soni aniqlaymiz. Oning uchun 

27

17 

 va 

23

19 

 ko`beymelerin 

salistiramiz: 

437

469

,

437

23

19

,

469

27

17











 bo`lishidan 

.

27

23

19

17



 

Yuqorida qaralgan faktlardan kasrlarning asosiy xossasi kelib chiqadi: agar berilgan kasrning maxraji va suratini  

bir natural songa kwpaytirsak yoki bwlsak, berilgan kasrga teng kasr kelib chiqadi. Kasrlarni qisqartirish va 

kasrlarni umumiy bo`limga keltirish shu xossaga asoslangan. 

Kasrlarni qisqartirish-bu berilgan kasrni unga teng, lekin  kichik maxraj va suratga ega boshqa kasr  bilan  

almashtirish deganni bildiradi. 

Agar kasrning maxraji va surati faqat birga bwlinsa, bu kasr qisqarmaydigan kasr deyiladi. Masalan 



17

5

qisqarmaydigan kasr. 

 Kasrlarni kisqartirish natijasida qoida buyicha unga teng qisqarmaydigan kasr kelib chiqishi kerak. 

Masalan: 

80

48

 kasrini qisqartiramiz. Bunga teng qisqarmaydigan kasrni keltirib chiqarish uchun berilgan kasrning 

maxraj va suratini ularning eng katta umumiy bwluvchisiga bwlish kerak. Uni topamiz: 





16

48

.

16

80

,

48

ni

D



 ga    va 80 ni 16 ga bo`lamiz, 

5

3

80

48



 ekanligi kelib chiqadi. 

5

3

 kasri 

qisqarmaydigan kasr. 

Kasrlarni umumiy bwlimga keltirish-bu, kasrlarni bir xil bwlimlarga ega, ularga teng bwlgan kasrlarga 

almashtirish degani. 

q

p

va

n

m

 ikki kasrining umumiy bwlimi 

n

  va 

q

  sonlarining umumiy karralisi bwladi,  eng kichik umumiy 

bwlimi esa ularning EKUK 





q

n

K

,

 bwladi. 

Masalan: 

15

8

va 

35

4

  kasrlarni  eng  kichik  umumiy  bwlimga  keltiramiz.  15      va  35  sonlarini  tub 

kwpaytuvchilargaajiratamiz:

.

7

5

35

;

3

5

15









 





3

35

8

15

105

.

105

7

5

3

35

,

15

















K

bwlishidan 

.

105

12

3

35

4

4

35

4

,

105

56

7

15

7

8

15

8















