Muvofiqlik mezonlari

Muvofiqlik mezonlari

Agar bosh to‗plam taqsimot qonuni noma‘lum bo‗lib, lekin u tayin ko‗rinishga ega (uni A deb ataymiz) deb taxmin qilishga asos bor bo‗lsa, u holda bosh to‗plam A qonun bo‗yicha taqsimlangan degan nolinchi gipoteza tekshiriladi.

Noma‘lum taqsimotning taxmin qilinayotgan qonuni haqi-dagi gipotezani tekshirish taqsimot parametrlari haqidagi gi-potezani tekshirish kabi, ya‘ni maxsus tanlangan tasodifiy miq-dor — muvofiqlik mezoni yordamida bajariladi.
Muvofiqlik mezoni deb noma‘lum taqsimotning taxmin qi-linayotgan qonuni haqidagi gipotezani tekshirish mezoniga ayti-ladi.
Muvofiqlik mezonlaridan biri bosh to‗plamning normal taq-simlanganligi
haqidagi gipotezani tekshirish uchun K.Pirsonning  2
(«xi kvadrat») mezonidir (bu
mezonni boshqa taqsimotlar uchun ham qo‗llash mumkin). Bu mezonni qo‗llash uchun empirik (kuzatila-digan) va nazariy (normal taqsimlangan degan taxminda hisoblan- gan) chastotalarni taqqoslaymiz.
Odatda empirik va nazariy chastotalar farq qiladi. Masa-lan:

emp. chastotalar . .	6	13	38	74	106	85	30	10	4
naz. chastotalar . . .	3	14	42	82	99	76	37	11	2

Empirik va nazariy chastotalarning farqi tasodifiy (muhim emas) bo‗lishi hamda yo kuzatishlarning soni kamligi, yo ularni gu-ruhlash usuli, yo boshqa sabablar bilan tushuntirilishi mumkin. Ikkinchi tomondan, chastotalarning farqi tasodifiy emas (muhim) bo‗lishi hamda nazariy chastotalar bosh to‗plamning normal taqsim-langanligi haqidagi noto‗g‗ri gipotezadan kelib chiqib hisoblan-ganligi bilan tushuntirilishi mumkin.
Pirson mezoni empirik va nazariy chastotalarning farqi tasodifiymi degan savolga javob beradi. To‗g‗ri, har qanday bosh-qa mezon kabi u gipotezaning o‗rinli ekanligini isbotlamaydi, balki faqat qabul qilingan qiymatdorlik darajasida gipoteza- ning kuzatish ma‘lumotlari bilan muvofiq kelishi yoki kelmas-ligini aniqlaydi.n hajmli tanlanma bo‗yicha
variantalar . . . . .
emp. chastotalar . .
x i x 1
n i n 1
. . .

x

x

2 s

n

n

. . .
2 s
empirik taqsimot hosil qilingan bo‗lsin.
Aytaylik, bosh to‗plam normal taqsimlangan degan taxmin-da
n  nazariy

i
chastotalar hisoblangan bo‗lsin.  qiymatdorlik darajasida bosh to‗plamning normal taqsimlanganligi haqidagi nolinchi gipotezani tekshirish talab qilinsin.

Nolinchi gipotezani tekshirish mezoni sifatida

 2 
 ( n i

 n  ) 2 n 
(17.1)

i

i

tasodifiy miqdor olinadi. Bu miqdor turli tajribalarda har xil, oldindan ma‘lum bo‗lmagan qiymatlar qabul qiladi. Rav-shanki, empirik va nazariy chastotalar qanchalik kam farq qilsa, (17.1) mezonning kattaligi shunchalik kichik bo‗ladi va demak, u ma‘lum darajada empirik va nazariy taqsimotlarning yaqinli-gini tavsiflaydi.
n   da (17.1) tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bosh to‗plam qaysi
taqsimot qonuniga bo‗ysunishidan qat‘iy na-zar erkinlik darajalari k ta bo‗lgan
 2 taqsimot qonuniga in-tiladi.

Erkinlik darajalari soni k

 s  1  r
tenglikdan topila-di, bu yerda s —

tanlanmadagi guruhlar (qism oraliqlar) soni; r — taxmin qilinayotgan taqsimotning tanlanma ma‘lumotlari bo‗-yicha baholangan parametrlari soni.

Xususan, agar taxmin qilinayotgan taqsimot normal bo‗lsa, u holda ikkita parametr (matematik kutilma va o‗rtacha kvadratik chetlanish) baholanadi, shuning

uchun teng.

r  2
va erkinlik darajala-ri soni
k  s
 1  r 
s  1  2 
s  3 ga

Agar bosh to‗plam Puasson qonuni bo‗yicha taqsimlangan deb taxmin

qilinsa, u holda bitta  parametr baholanadi, shuning uchun bo‗ladi.
r  1
va k
 s  2


O‗ng tomonlama kritik sohani nolinchi gipoteza o‗rinli de-gan taxminda mezonning sohaga tushish ehtimolligi qabul qilin-gan qiymatdorlik darajasiga teng bo‗lishi talabiga asoslanib quramiz:

P ( 
2 ( ; k ))
  . (17.2)

кр

кр


Shunday qilib, o‗ng tomonlama kritik soha  
2 ( ; k )
tengsizlik

кр



bilan, nolinchi gipotezaning qabul qilinish sohasi esa  
bilan aniqlanadi.
2 ( ; k )
tengsizlik

Qoida. Berilgan qiymatdorlik darajasida bosh to‗plam nor-mal

taqsimlanganligi haqidagi H 0
nolinchi gipotezani tekshi-rish uchun avval nazariy

chastotalarni, so‗ngra mezonning


2
кузат

  ( n i
 n  ) 2 n 
(17.3)

i

i

kuzatilayotgan qiymatini hisoblash kerak va  2
taqsimotining kritik nuqtalari


jadvali, berilgan  qiymatdorlik darajasi hamda erkinlik darajalari soni k  s  3

bo‗yicha
2 ( ; k )
kri-tik nuqtani topish kerak.

Agar

кр
2





кузат
2 bo‗lsa, nolinchi gipotezani rad etishga asos yo‗q. Agar

кр

 


2
кузат
2 bo‗lsa, nolinchi gipoteza rad etiladi.

кр
Pirsonning muvofiqlik mezonining mohiyati empirik va nazariy chastotalarni taqqoslashdan iborat. Empirik chastotalar tajribadan topilishi ravshan. Bosh to‗plam normal taqsimlangan deb taxmin qilinganda nazariy chastotalarni qanday topish mum-kin? Bu masalani quyidagi usul bilan yechish mumkin.

X ning kuzatilayotgan qiymatlari oralig‗ining hammasi ( n hajmli


tanlanma) bir xil uzunlikdagi s ta

( x i ,
x i  1 )
qism oraliqlarga bo‗linadi. So‗ngra

qism oraliqlarning

* ( x 
 x i  1 ) 2
o‗rtalari topiladi;
* variantaning n

i

x

x

i

i

i
chastotasi sifa-tida i nchi oraliqqa tushgan variantalar soni qabul qilinadi. Natijada bir-biridan teng uzoqlikda turgan variantalar va ularga mos chastotalar ketma- ketligi hosil qilinadi:

Bunda 

n i  n .
* *

x

x

i 1
n i n 1
* . . . *

x

x

2 s

n

n

. . .
2 s

x *

o‗rtacha tanlanma qiymat va  *
tanlanma o‗rtacha kvad-ratik

chetlanish hisoblanadi.

X tasodifiy miqdor normalanadi, ya‘ni Z

 ( X

 x * ) /

/  *
miqdorga

o‗tiladi va ( z i ,
z i  1 )
intervallarning uchlari hi-soblanadi:

z i 
( x i 

x * )
 * ,
z i  1
 ( x i  1 

x * )
 * ,

bunda Z ning eng kichik qiymati, ya‘ni z 1

 ga teng, eng katta qiymati, ya‘ni

z s esa  ga teng deb olinadi.

X ning ( x i ,

x i  1 )
intervallarga tushishining
p i nazariy ehtimolliklari

p i 
 ( z i  1 ) 

 ( z i )

tenglik bo‗yicha hisoblanadi (  ( z ) — Laplas funksiyasi) va, ni-hoyat,

i
qidirilayotgan n  

np i
nazariy chastotalar topiladi.