N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

I. Dastlab maxrajning nollarini aniqlaymiz:

Bu yerdan ko‘rinadiki, maxraj uchun x₁=0 ikki karrali, x₂=1 oddiy haqiqiy ildizlar bo‘ladi. Bundan tashqari uchinchi ko‘paytuvchidan maxrajning bir juft oddiy qo‘shma kompleks ildizi ham mavjudligini ko‘ramiz. Shu sababli integral ostidagi ratsional kasr quyidagi ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlarga yoyiladi:

.

II. Bu yoyilmadagi A₁, A₂, A₃, A₄ va B sonlarni noma’lum koeffitsiyentlar usulida topamiz. Buning uchun yoyilmaning o‘ng tomonidagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. So‘ngra hosil bo‘lgan kasrning suratini yoyilmaning chap tomonidagi kasrning suratiga tenglashtiramiz. Natijada quyidagi tenglikka kelamiz:



.

Bu tenglikdagi qo‘shiluvchilarni x darajalari bo‘yicha guruhlaymiz:

.

Bu tenglik x o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida o‘rinli, ya’ni ayniyat bo‘lishi kerak. Bu esa x o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni teng bo‘lishini taqozo etadi. Bundan A₁, A₂, A₃, A₄ va B noma’lumlar uchun quyidagi 5 noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

Bu sistemani yechib,

A₁=–1 , A₂=–1 , A₃=2/3 , A₄=1/3 , B=2/3

ekanligini topamiz. Demak, integral ostidagi ratsional kasr

ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlar orqali ifodalanadi. Shu bilan ratsional kasrli integralni hisoblashning I –II bosqichlari yakunlandi. Endi III bosqichga, ya’ni bevosita integralni hisoblashga o‘tamiz.

III.



.

Yakuniy natijaga erishish uchun J integralni hisoblash qoldi. Bu III tur eng sodda ratsional kasrdan olingan integral bo‘lib, uni yuqorida ko‘rsatilgan usulda hisoblaymiz:

.

Bu natijani izlanayotgan I integral uchun hosil qilingan oldingi tenglikka qo‘yib, ushbu oxirgi natijani olamiz:

.

Kelgusida bir qator funksiyalarni integrallash ratsional kasrlarni integrallash masalasiga olib kelishini ko‘ramiz.

XULOSA

Har qanday aniqmas integral elementar funksiyalar orqali ifodalanishi shart emas ekanligi oldin ta’kidlab o‘tilgan edi. Shu sababli elementar funksiyalarda ifodalanadigan integrallar sinfini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masalaning xususiy bir javobi sifatida ratsional funksiyalardan olingan integrallarni ko‘rsatish mumkin. Bunda dastlab I-IV turdagi eng sodda ratsional funksiyalarni integrallash usuli ko‘rsatiladi. So‘ngra, ixtiyoriy ratsional funksiyani ularning algebraik yig‘indisi kabi yozish mumkinligidan foydalanib, umumiy holda ratsional funksiyadan olingan integrallarni hisoblash amalga oshiriladi. Bu integrallar logarifmik, arctg(ax+b) ko‘rinishdagi teskari trigonometrik funksiyalar hamda ratsional kasrlar, ya’ni elementar funksiyalar orqali ifodalanadi.

Tayanch iboralar

* Ko‘phad * Ratsional kasr (funksiya) * Noto‘g‘ri ratsional kasr * To‘g‘ri ratsional kasr * I tur eng sodda ratsional kasr * II tur eng sodda ratsional kasr * III tur eng sodda ratsional kasr * IV tur eng sodda ratsional kasr * Mavhum birlik * Kompleks son * Qo‘shma kompleks sonlar * Ratsional kasr yoyilmasi * Noma’lum koeffitsiyentlar usuli